Finn summen av ei rekke ved å bruke kjente rekker.

[kaffekjele]

Jeg sitter med en oppgave som lyder som følger: "Finn summen av rekken ved å bruke kjente rekker".
- [tex]\frac{1}{2}[/tex] - [tex]\frac{1}{2^2*2}[/tex] - [tex]\frac{1}{2^3*2}[/tex] - [tex]\frac{1}{2^4*2}[/tex] - ...[tex]\sum_{n=1}^\infty - \frac{1}{2^n*n}[/tex]

Jeg har primært sett på den kjente rekka til ln(1+x):
[tex]x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}[/tex]

da den var den eneste hvor nevneren i det minste minner om nevneren i den rekka som er i oppgaven. Imidlertid er rekka til ln(1+x) alternerende, og det er ikke den rekka som er oppgitt i oppgaven.

Åpenbart har jeg ikke peiling på hvordan jeg skal gripe an denne. Er det noen som kan hjelpe meg på rett vei?[/tex]

[Gustav]

Hva med å sette [tex]x=-\frac{1}{2}[/tex]

[kaffekjele]

Er dette gangbart, eller forbryter jeg meg mot noen regneregler nå?

Tar utgangspunkt i ln(x+1)=[tex]\sum_{1=1}^\infty (-1)^{n-1}[/tex][tex] \frac{x^n}{n}[/tex]

og setter x= -[tex]\frac{1}{2}[/tex]

[tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}[/tex] [tex]\frac{-(1/2)}{n}^n[/tex]

skriver om til:


[tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}[/tex] [tex]\frac{\frac{-1^n}{-2^n}}{n}[/tex]


som gjøres om til


[tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1}[/tex] [tex]\frac{-1^n}{2^n*n}[/tex]


Hvis dette er lovlig, hvordan kan jeg bli kvitt (-1)^(n-1)? Dette kan jo skrives som -1^n * -1^-1. Kan jeg rett og slett stryke -1^n mot -1^n oppå brøkstreken slik at jeg blir sittende igjen med -1 - som er det som står over brøkstreken i den opprinnelige rekka som er oppgitt i oppgaven?

[wingeer]

Ev. se for odde n er den ene positiv og den andre negativ og motsatt for jamn n. => Alltid negativ.