Lineærkombinasjoner

[linag]

Jeg driver med en oppgave i lineær algebra hvor det dreier seg å regne ut en ny vektor, c, gitt av 4 andre vektorer som en lineærkombinasjon.

a[sub]1[/sub] = [2 1 3][sup]T[/sup]
a[sub]2[/sub] = [1 -1 2][sup]T[/sup]
a[sub]3[/sub] = [0 1 2][sup]T[/sup]
b = [4 6 7][sup]T[/sup]

c = 2a[sub]1[/sub] - a[sub]2[/sub] + 3a[sub]3[/sub] - b

Løsningen på denne lineærkombinasjonen blir [-1 0 3][sup]T[/sup].

Problemet mitt er neste del av denne oppgaven hvor jeg skal undersøke om det finnes andre lineærkombinasjoner av a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub], a[sub]3[/sub] og b som også gir c, og i følge fasiten så gjør det det, men jeg vet ikke hvordan jeg skal vise det.

Noen tips til hvordan jeg skal gå fram?

[wingeer]

Sett opp:
[tex] \left[ \text{{\bf a}}_1 \text{ {\bf a}}_2 \text{ {\bf a}}_3 \text{ {\bf b}} \right] \cdot \text{ {\bf x}} = \text{{\bf c}} [/tex]. Løs for x, koeffisientvektoren som gir deg linære kombinasjoner av vektorene som er lik c.

[linag]

Så [tex]x[/tex] vil være en søylevektor av x1, x2, x3 og x4 eller mente du at [tex]x[/tex] skulle ganges med alle elementene av a[sub]1[/sub], a[sub]2[/sub], a[sub]3[/sub] og b?

[wingeer]

Den første fortolkningen er riktig.

[linag]

Så uttrykkene jeg ender opp med blir sånn:

2x[sub]1[/sub] + x[sub]2[/sub] + 4x[sub]4[/sub] = -1
x[sub]1[/sub] - x[sub]2[/sub] + x[sub]3[/sub] + 6x[sub]4[/sub] = 0
3x[sub]1[/sub] + 2x[sub]2[/sub] + 2x[sub]3[/sub] + 7x[sub]4[/sub] = 3

Mulig jeg misforstod deg tidligere, men hvordan vet jeg hvilke andre kombinasjoner av x[sub]1[/sub], x[sub]2[/sub], x[sub]3[/sub] og x[sub]4[/sub] som gir riktig løsning?

Jeg vet jo at x[sub]1[/sub] = 2, x[sub]2[/sub] = -1, x[sub]3[/sub] = 3 og x[sub]4[/sub] = -1 vil gi meg en kombinasjon som oppfyller dette systemet.

[wingeer]

Dette er et ligningssett med 3 ligninger og 4 ukjente, hva slags konklusjon kan du trekke om løsningene da?

[linag]

At systemet enten kan være selvmotsigende eller ubestemt, og etter at jeg brukte Gausseliminasjon så kom jeg fram til at systemet er ubestemt med uendelig mange løsninger.

Jeg ble litt usikker på om det er lov til å bruke en parameter her ved sette x[sub]4[/sub] = t ettersom jeg bare har 3 ligninger i motsetning til om jeg hadde et ubestemt system med en null-linje nederst, men jeg prøvde allikevel.

Da kom jeg fram til følgende uttrykk for x-ene:

x[sub]1[/sub] = -1 - 3t
x[sub]2[/sub] = 1 + 2t
x[sub]3[/sub] = 2 - t
x[sub]4[/sub] = t

For å prøve om dette stemte så satte jeg t = 1 og kom jeg fram til en ny lineærkombinasjon for c som oppfyller kravet:

c = -4a[sub]1[/sub] + 3a[sub]2[/sub] + a[sub]3[/sub] + b

Tusen takk for hjelpen![sup][/sup]