Analysespørsmål

[wingeer]

Har to spørsmål innen analyse. Jeg tror de begge er ganske åpenbare, men jeg har sett meg helt blind på begge to.
Først et hentet fra Fourier-analyse:
"Anta at f er en kontinuerlig funksjon og anta at Fourier-rekken til f konvergerer i et punkt [tex]x_0[/tex], vis at dette punktet må være [tex]f(x_0)[/tex]."
Mao. f er kont. og [tex]||S_n(x_0) - L|| \to 0[/tex], hvor [tex]S_n(x_0)[/tex] er partialsummen til rekken. Tenkte å vise at dette tvinger L til å være [tex]f(x_0)[/tex], men jeg kom ikke så langt. Har også vurdert å vise at [tex]|f(x_0)-L| \to 0[/tex], men kom ikke noen vei der heller.
Setter veldig pris på om noen bare kan gi et hint i riktig retning.


Så et spørsmål fra funksjonalanalyse (4.6.10 Kreyszig):
"Anta at et normert rom X har en lineært uavhengig undermengde med n elementer, så har dualrommet X' også en slik mengde."
Regner med at man bare blir nødt til å konstruere en slik mengde. Men klarte ikke å få til noe veldig fornuftig.
La [tex]\{x_i \}[/tex] være en lineært uavhengig mengde i X, da gjelder:
[tex]x=\sum \alpha_i x_i = 0 \Rightarrow \alpha_i = 0[/tex], så for enhver [tex]f \in X^{\prime}[/tex] har vi [tex]f(x) = f \left( \sum \alpha_i x_i \right) = \sum \alpha_i f(x_i)[/tex], men siden f sender 0 til 0 må:
[tex]\sum \alpha_i f(x_i)=0 \Rightarrow \alpha_i=0[/tex], så alle [tex]f(x_i)[/tex] er lin.uavhengig. Kan man bruke dette til noe?

[Gustav]

På den første, bruk at dersom f(x) er kontinuerlig i [tex]x_0[/tex], så er Fourierrekka Cesaro summable i [tex]x_0[/tex], mot [tex]f(x_0)[/tex].

[Gustav]

På den andre

Konstruér n lineære funksjonaler [tex]f_i[/tex] ved å kreve at

[tex]f_i(x_j)=\delta_{ij}[/tex]

Da vil

[tex]\sum_i a_if_i(x)=0[/tex] implisere at [tex]a_i=0[/tex] ved å sette inn for de ulike [tex]x_i[/tex]-ene.

[wingeer]

På den første, bruk at dersom f(x) er kontinuerlig i [tex]x_0[/tex], så er Fourierrekka Cesaro summable i [tex]x_0[/tex], mot [tex]f(x_0)[/tex].

Åja, for siden vi vet rekken konvergerer mot noe så vil Cesaro-summen bevare denne konvergensen, så hvis Cesaro-summen av Fourier-rekken konvergerer mot [tex]f(x_0)[/tex] så må rekken i seg selv konvergere mot det samme. Og siden f er kont. konvergerer Cesaro-summen av Fourier-rekken til f i alle kont. punkter (Fejers teorem).

På den andre

Konstruér n lineære funksjonaler [tex]f_i[/tex] ved å kreve at

[tex]f_i(x_j)=\delta_{ij}[/tex]

Da vil

[tex]\sum_i a_if_i(x)=0[/tex] implisere at [tex]a_i=0[/tex] ved å sette inn for de ulike [tex]x_i[/tex]-ene.

Det var ikke verre, nei.
Tusen takk! Du redder dagen nok en gang.