Variasjon av parametre

[herregud]

Har denne oppgaven:
Bruk variasjon av parametre til å finne den generelle løsningen av diff.ligninge
y'' - y = g(t)

Der g(t) er en gitt kontinuerlig funksjon.

Jeg har løst den korresponderende homogene likningen og funnet y, y' og y''. Disse er satt inn i utg.pkt og jeg har brukt at y'=0.

Jeg har nå dette:
u'(t)e^t + v'(t)e^2t = g(t)

Men forstår ikke hva jeg skal gjøre videre.

Jeg skal også finne partikulær løsning når y'(0)=0 og y(0)=0.

What to do?

[Gustav]

Har denne oppgaven:
Bruk variasjon av parametre til å finne den generelle løsningen av diff.ligninge
y'' - y = g(t)

Der g(t) er en gitt kontinuerlig funksjon.

Jeg har løst den korresponderende homogene likningen og funnet y, y' og y''. Disse er satt inn i utg.pkt og jeg har brukt at y'=0.

Jeg har nå dette:
u'(t)e^t + v'(t)e^2t = g(t)

Men forstår ikke hva jeg skal gjøre videre.

Jeg skal også finne partikulær løsning når y'(0)=0 og y(0)=0.

What to do?

La $u_1(t)$ og $u_2(t)$ være de to homogene løsningene. Anta at generell løsning er $y(t)=A(t)u_1(t)+B(t)u_2(t)$. Setter vi dette inn i den opprinnelige ligningen ser vi at vi har én frihetsgrad til overs. Det betyr at vi kan kreve at A(t) og B(t) tilfredsstiller en valgfri ligning. Ved å velge denne ligningen på en strategisk måte kan vi forenkle problemet maksimalt. Ligningen vi krever er at $A´(t)u_1(t)+B´(t)u_2(t)=0$. Årsaken til at akkurat denne ligningen er valgt er at den forenkler den dobbeltderiverte av den generelle løsningen på en veldig fin måte. Ved å sette inn den antatte løsningen inn i den opprinnelige ligningen og bruke disse ligningene ender vi opp med to ligninger med to ukjente, A´(t) og B´(t) som kan løses.