Anta at $\sum_{n=0}^\infty \ln(1+a_n)=a<\infty$ konvergerer mot en verdi "a". Vi kan skrive om til $\prod_{n=0}^{\infty}(1+a_n)=e^a$ (det uendelige produktet konvergerer mot $e^a$).
Ta en nærmere titt på produktet.. og sammenlign med rekka $\sum_{n=0}^\infty a_n$
Konvergens av rekke
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Takker så meget for hjelpen. Da duger vel noe sånt:
På grunn av 1-leddet og at [tex]a_n>0[/tex] er det lett å se at vi for alle [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] har [tex]\prod_{n=0}^N(1+a_n)>\sum_{n=0}^N a_n[/tex]. Siden [tex]\prod_{n=0}^\infty(1+a_n)[/tex] konvergerer, konvergerer også [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex].
På grunn av 1-leddet og at [tex]a_n>0[/tex] er det lett å se at vi for alle [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] har [tex]\prod_{n=0}^N(1+a_n)>\sum_{n=0}^N a_n[/tex]. Siden [tex]\prod_{n=0}^\infty(1+a_n)[/tex] konvergerer, konvergerer også [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex].
Ja, var sånn jeg tenkte det også.Flabbrø skrev:Takker så meget for hjelpen. Da duger vel noe sånt:
På grunn av 1-leddet og at [tex]a_n>0[/tex] er det lett å se at vi for alle [tex]N\in\mathbb{N}[/tex] har [tex]\prod_{n=0}^N(1+a_n)>\sum_{n=0}^N a_n[/tex]. Siden [tex]\prod_{n=0}^\infty(1+a_n)[/tex] konvergerer, konvergerer også [tex]\sum_{n=0}^\infty a_n[/tex].