Bevis relatert til integraler (analysens fundamentalteorem)

[Determined]

"a) La g være en positiv, monotont voksende, kontinuerlig funksjon på $[0,\infty)$. Definer $h(x) = \int_0^x{g(t)}dt$. Vis at h er positiv og voksende."

Mitt svar: Via analysende fundamentalteorem er $h'(x)=g(x)$. Dermed, siden g er positiv, er $h'(x)$ også det. h er opplagt positiv siden integralet av en positiv funksjon er positivt - jfr. integralet som areal av funksjoner. Dette gjør at h også er positiv og voksende.

"b) Vis at $h(x) \leq g(x)$ for alle $x \in [0,1]$."

Mitt svar: $h(x)$ er uansett mindre enn eller lik $g(x)$ på intervallet multiplisert med $x$ (tenk på det som utregning av areal av et rektangel). Men siden $|x| \leq 1$ må dette rektangelet igjen være mindre enn eller lik $g(x)$. Hvilket forklarer påstanden.

"c) Definer følgen $\{ a_n(x) \}_{n=1}^\infty$ ved: $a_1(x)=g(x)$, $a_2(x)=\int_0^x{g(t)}dt$, . . ., $a_n(x) = \int_0^x{a_{n-1}(t)}dt$. Vis at følgen konvergerer for hver fast $x \in [0,1]$."

Mitt svar: Her er jeg usikker. Det hadde vært "opplagt" om h hadde vært monotont voksende, for da kunne man bare "gjenbrukt" formelen i a) for hvert ledd i følgen, og pga. resultatet i b) ville denne gått mot null sett at ulikheten i b) hadde vært streng (noe den intuitivt er, da g ellers måtte ha vært en konstant). (Man må vel nesten vise at h er kontinuerlig og?)

Noen innspill?

[jhoe06]

Mitt innspill: Vær mer analytisk og bruk presise, matematiske argument.

Du skriver for eksempel

$h(x)$ er uansett mindre enn eller lik $g(x)$ på intervallet multiplisert med $x$ (tenk på det som utregning av areal av et rektangel).

Hva mener du egentlig med dette? Det ligger en uklarhet i besvarelsen din. Du kunne for eksempel i steden ha sagt: siden $ g(t) $ er voksende har vi $ \sup\{g(t) : t\in[0, x]\} = g(x) $. Det er da åpenbart at $ h(x) \leq x g(x) $. Siden $ 0 \leq x \leq 1$ og $g(x) \geq 0 $, har vi også $ x g(x) \leq g(x) $. Dermed får vi $ h(x) \leq g(x) $. Eller du kunne ha sagt: siden $ g(t) $ er voksende vil $ g(t) $ på ethvert intervall $ [0, x] $ være maksimal for $ t=x $. Dermed har vi $ h(x) = \int_0^x g(t) dt \leq x g(x) \leq g(x) $, hvor vi i den siste ulikheten bruker $ x \in [0, 1] $ og $ g(x) \geq 0 $. Dette er på ingen måte noen fasitsvar, bare eksempler på mer analytiske argument.

[Gustav]

a)

Ser ut som et greit argument. Alternativ løsning: La $x< y$. Da er $h(x)=\int_0^x g(t)\,dt<\int_0^x g(t)\,dt+\int_x^y g(t)\,dt=\int_0^y g(t)\,dt=h(y)$ siden g(x) er positiv. Altså er h(x) strengt voksende (og følgelig også monotont voksende).

c)

Bruk induksjon til å vise at følgen $\{a_n(x)\}$ er monotont avtagende og nedad begrenset av $0$. Da følger det av det monotone konvergensteoremet at følgen konvergerer.

Man må vel nesten vise at h er kontinuerlig og?

.

Ja, det er en fin liten oppgave. Bruk $\epsilon-\delta$-definisjonen av kontinuitet til å vise dette.

(Kontinuiteten sikrer for øvrig at g(x) er Riemannintegrerbar, men er egentlig ikke nødvendig. Stykkvis kontinuitet er nok.)

[Determined]

Takk for innspill dere! Nyttig. Dere har rett i at det ble for "grovkornet". Her er forøvrig mitt utkast til c):

$a_1(x) \geq a_2(x)$ siden $h(x) \leq g(x)$. $a_n(x) \geq a_{n+1}(x)$ ved antagelse. Da er $a_{n+1}(x) = \int_0^xa_n(t)dt \geq \int_0^xa_{n+1}(t)dt = a_{n+2}(x)$, hvor det nest siste skrittet kan forklares med induksjonshypotesen. Dette tilsier at følgen er monotont avtagende. (Men ikke strengt monotont avtagende - og er ikke akkurat det nødvendig for konvergens?)

$a_1(x) = g(x) \geq 0$. $a_2(x) = \int_0^xg(t)dt = h(x) \geq 0$. $a_3(x) = \int_0^xa_2(t)dt \geq 0$ siden $a_2(x) \geq 0$ på $[0,1]$. Antar at $a_n(x) \geq 0$. Da er $a_{n+1} = \int_0^xa_n(t)dt \geq 0$ siden $a_n(x) \geq 0$. Dette tilsier at følgen er nedad begrenset av 0.

Men som sagt, streng monotoni er vel nødvendig for konvergens av denne følgen?

[Determined]

Man må vel nesten vise at h er kontinuerlig og?

.

Ja, det er en fin liten oppgave. Bruk $\epsilon-\delta$-definisjonen av kontinuitet til å vise dette.

(Kontinuiteten sikrer for øvrig at g(x) er Riemannintegrerbar, men er egentlig ikke nødvendig. Stykkvis kontinuitet er nok.)

Hvordan viser jeg at h er kontinuerlig på $[0,\infty)$ eller bare $[0,1]$ egentlig? Slik jeg har lært om $\epsilon$-$\delta$-argumentasjon så trenger man å kjenne uttrykket for funksjonen samt punktet man skal vise kontinuiteten i (altså ikke et intervall)...

[Gustav]

Det er ingenting som heter strengt monoton. Enten snakker man om montont voksende (avtagende) eller strengt voksende (avtagende).

Det er nok at følgen er monotont voksende (avtagende) og oppad (nedad) begrenset for konvergens.


For å vise at $h(x)=\int_0^x g(t)\,dt$ er kontinuerlig, legg merke til at

$|h(x)-h(c)|=|\int_0^x g(t)\,dt-\int_0^c g(t)\,dt|=|\int_0^x g(t)\,dt+\int_c^0 g(t)\,dt|=|\int_c^x g(t)\,dt|\leq |x-c|\sup_{x\in [0,1]} g(x)$.

La $M=\sup_{x\in [0,1]} g(x)$, og velg $\delta = \frac{\epsilon}{M}$

[Determined]

Takk for svar plutarco!

Jeg leste mer her: http://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_c ... ce_theorem , og ser jo at du har rett. Tenkte intuitivt på en funksjon $f(x)=k$, men den er jo ikke voksende.

Ang. det siste beviset så var det smart.