Bevis relatert til definisjonen av den deriverte

[Determined]

Oppgave: "Alt vi vet om funksjonen $f : (0,\infty) \rightarrow R$ er $f(xy)=f(x)+f(y)$ for alle $x,y \in (0,\infty)$, $f$ er deriverbar i $x=1$ med $f'(1)=k$. Vår oppgave er å finne ut mer om $f$. a) Vis at $f(1)=0$. b) Vis at $f(x+h)=f(x)+f(1+\frac{h}{x})$. Bruk dette til å vise at $f'(x)=\frac{k}{x}$."

Jeg har klart a) og første del av b), men lurer på om jeg kan gjøre følgende for siste del av b):

$xf'(x)=x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})}{h} = x \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{h} = \lim_{\frac{h}{x} \rightarrow 0} \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{\frac{h}{x}} = f'(1) = k \Rightarrow f'(x) = \frac{k}{x}$.

Jeg syns jo det ser riktig ut, og det virker som det var dette oppgaven hintet til. Men jeg vet ikke. Årsaken til at jeg har litt tvil er at jeg "tuller" med definisjonen av den deriverte med å blande inn en ekstra x. Artig oppgave da…

Siste del av oppgaven lyder slik: "c) Vis at $f(x)=k \ln{x}$." Denne kan noen andre få bryne seg på, i og med at jeg selv har løst den.

[jhoe06]

For min del ser det ut som en fin løsning.

[Brahmagupta]

Jeg vil også tro dette fungerer bra, siden x er konstant gjennom hele utregningen. Skulle det mot formodning ikke fungert
kunne man gjort det direkte ved definisjonen av den deriverte og l'hôpital på 0/0 uttrykket, siden man kjenner f'(1).

Løsningen til oppgave c er vel bare å integrere uttrykket for den deriverte og vise at konstanten er null ved at f(1)=0.
Synes å huske at jeg gjorde denne oppgaven i fjor. Den er fra Kalkulus?

[Determined]

Jeg vil også tro dette fungerer bra, siden x er konstant gjennom hele utregningen. Skulle det mot formodning ikke fungert
kunne man gjort det direkte ved definisjonen av den deriverte og l'hôpital på 0/0 uttrykket, siden man kjenner f'(1).

Løsningen til oppgave c er vel bare å integrere uttrykket for den deriverte og vise at konstanten er null ved at f(1)=0.
Synes å huske at jeg gjorde denne oppgaven i fjor. Den er fra Kalkulus?

Hum! Det virker jo igrunn til å funke bedre.

Ja, er fra boka til Tom Lindstrøm. (Syns det virker som en god bok på innføring i analyse, mer "teoretisk" enn mange andre.)