Integral av tan^n der n->oo

[Gustav]

n må være større enn 1 ja, det stemmer. De øvre summene blir uansett $\leq \frac{\pi}{4}\tan^n (\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sqrt{n}})+\frac{1}{\sqrt{n}}$. Siden $\displaystyle \lim_{n\to \infty }\frac{\pi}{4}\tan^n (\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sqrt{n}})+\frac{1}{\sqrt{n}}=0$, må Riemannintegralet gå mot 0. (Det er evident at de nedre Riemannsummene er ikkenegativ siden funksjonene er ikkenegative.)

[Determined]

Ja, ok, så det går bra å overse det at intervallene/maskene i starten av partisjonen ikke går mot null ja. Siden det er "slutten" vi ser på. Hm.

Jeg får for, for høye n, "Riemann-ledd" på formen:

$\lim_{m \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}) \tan^n{(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{n}})}$

(Siden n i Riemann-summene og n i $\tan^n{x}$ begge $\to \infty$.)

Takk for hjelpen alle sammen!

PS: Skjønte ikke 100% det med med at jeg kan overse maskenevidden for "lave" n. Jeg syns jo det virker som vi da er tilbake med å dele opp integrasjonsintervallet i to, fra 0 til a, og fra a til $\frac{\pi}{4}$, og la $a \to \frac{\pi}{4}$... men jeg syns jeg har jobbet nok med denne oppgaven så det går bra.

[Gustav]

Ja, ok, så det går bra å overse det at intervallene/maskene i starten av partisjonen ikke går mot null ja. Siden det er "slutten" vi ser på. Hm.

Jeg får for, for høye n, "Riemann-ledd" på formen:

$\lim_{m \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}) \tan^n{(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{n}})}$

(Siden n i Riemann-summene og n i $\tan^n{x}$ begge $\to \infty$.)

Takk for hjelpen alle sammen!

PS: Skjønte ikke 100% det med med at jeg kan overse maskenevidden for "lave" n. Jeg syns jo det virker som vi da er tilbake med å dele opp integrasjonsintervallet i to, fra 0 til a, og fra a til $\frac{\pi}{4}$, og la $a \to \frac{\pi}{4}$... men jeg syns jeg har jobbet nok med denne oppgaven så det går bra.

Poenget er at enhver "refinement" av partisjoneringen av intervallet, vil gi en øvre trappesum som er mindre enn trappesummen tilhørende den grove partisjoneringen jeg antydet. Siden selv den angitte partisjoneringens tilhørende trappesum går mot 0, må også enhver finere øvre Riemannsum gå mot 0. Så Riemannintegralet vi på en måte skvises mellom øvre og nedre trappesummer som begge går mot 0.

Hva som skjer for lave n er egentlig ikke så viktig, så jeg har vært litt uvøren og oversett det.

Ja, det er noe av det samme som den løsningen du hadde med de grensene. Forskjellen er at jeg har skrevet det med trappesummer og ikke grenser.

[Determined]

Poenget er at enhver "refinement" av partisjoneringen av intervallet, vil gi en øvre trappesum som er mindre enn den grove partisjoneringen jeg antydet. Siden selv den angitte partisjoneringens tilhørende trappesum går mot 0, må også den øvre Riemannsummen gå mot 0. Så Riemannintegralet vi på en måte skvises mellom øvre og nedre trappesummer som begge går mot 0.

Hva som skjer for lave n er egentlig ikke så viktig, så jeg har vært litt uvøren og oversett det.

Ja, det er noe av det samme som den løsningen du hadde med de grensene. Forskjellen er at jeg har skrevet det med trappesummer og ikke grenser.

Ahhh, nå skjønner jeg hva du mener. Jeg leste partisjoneringen som $\{0,\frac{\pi}{4}-1,\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sqrt{2}},...,\frac{\pi}{4}-\frac{1}{\sqrt{n}},...,\frac{\pi}{4}\}$, derfor jeg surret sånn.

Når n kryper oppover, er denne trappesummen altså større enn Riemann-integralet, men går fortsatt mot null.

Hjertelig takk.