Consider the initial value problem
[tex]\frac{dy}{dx}=x+y^2[/tex]
with y(0)=1.
a) Use Euler's Method with step-length h=0.1 to find an approximation to y(0.3).
HINT 1: :Numerical methods.
HINT 2: Differential equations videos.
b) Let P2(x) denote the second order Taylor polynomial for the solution of the initial value problem y(x) at x=0. Find P2(0.3). HINT: Differentiate the differential equation implicitly to find y′′.
Ved å bruke Eulers metode fant jeg at y(0.3) = 1.030402
Finner at ''[tex]y''=1+2y*y'[/tex] og at y''(0)=3
Blir ikke P2(0.3) = [tex]f(0)+f'(0)*(0.3-0)+\frac{f''(0)*(0.3-0)^2}{2}[/tex]?
Får da et for stort tall. Hvilke verdier som settes inn er feil?
Løse difflikning med Taylorpolynom
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Når et Taylor Polynom evalueres for x=0, får vi
[tex]P_{2}x=f(x)+f^{\prime}(x)x+\frac{f^{2}(x)}{2!}x^2[/tex]
Ser ut som du har taket på det.
Hvilke uttrykk har du kommet frem til for den opprinnelige funksjonen y?
Jeg tror at du må evaluere alle gradene av funksjonen for x=0. Sånn:
[tex]P_{2}x=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^2[/tex]
Dette har du også gjort. Nå har ikke jeg sjekket om den numeriske approksimasjonen med Eulers metode er riktig, men ser ut som du er på riktig vei.
Så kan du putte inn verdier for x. Såfremt det du bruker som y er korrekt. [tex]y^{\prime\prime}[/tex] ser rett ut.
Kunne du skrevet opp hva du bruker for de forskjellige gradene av funksjonen når du finner verdiene? Da kan det kanskje være mulig å se slurvefeil, evt andre feil. Altså mer konkret, skriv funksjonene [tex]y ,og, y^{\prime}[/tex] så får jeg sett om det er noen feil der.
[tex]P_{2}x=f(x)+f^{\prime}(x)x+\frac{f^{2}(x)}{2!}x^2[/tex]
Ser ut som du har taket på det.
Hvilke uttrykk har du kommet frem til for den opprinnelige funksjonen y?
Jeg tror at du må evaluere alle gradene av funksjonen for x=0. Sånn:
[tex]P_{2}x=f(0)+f^{\prime}(0)x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^2[/tex]
Dette har du også gjort. Nå har ikke jeg sjekket om den numeriske approksimasjonen med Eulers metode er riktig, men ser ut som du er på riktig vei.
Så kan du putte inn verdier for x. Såfremt det du bruker som y er korrekt. [tex]y^{\prime\prime}[/tex] ser rett ut.
Kunne du skrevet opp hva du bruker for de forskjellige gradene av funksjonen når du finner verdiene? Da kan det kanskje være mulig å se slurvefeil, evt andre feil. Altså mer konkret, skriv funksjonene [tex]y ,og, y^{\prime}[/tex] så får jeg sett om det er noen feil der.
Bachelor i Fysikk @ UiB
Bruker bare det som er gitt ovenfor. Altså at y(0)=1 og at [tex]y'=x+y^2[/tex]
Setter da inn 0 for x og 1 for y(0): [tex]y'=0+1^2=1[/tex]
[tex]y''=1+2\cdot 1\cdot 1=3[/tex]
y(0.3) ved Eulers metode:
[tex]y1 = y0 + hf(x0, y0) = 1 + 0.1(0 · 1^2) = 1[/tex]
[tex]y2 = y1 + hf(x1, y1) = 1 + 0.1(0.1 · 1^2) = 1.01[/tex]
[tex]y3 = y2 + hf(x2, y2) = 1.01 + 0.1(0.2 · 1.01^2) = 1.030402[/tex]
Setter inn i Taylorformelen:
[tex]1+1\cdot (0.3-0)+\frac{3\cdot (0.3-0)^2}{2}=1.435[/tex] Er ikke dette et for stort tall?
Setter da inn 0 for x og 1 for y(0): [tex]y'=0+1^2=1[/tex]
[tex]y''=1+2\cdot 1\cdot 1=3[/tex]
y(0.3) ved Eulers metode:
[tex]y1 = y0 + hf(x0, y0) = 1 + 0.1(0 · 1^2) = 1[/tex]
[tex]y2 = y1 + hf(x1, y1) = 1 + 0.1(0.1 · 1^2) = 1.01[/tex]
[tex]y3 = y2 + hf(x2, y2) = 1.01 + 0.1(0.2 · 1.01^2) = 1.030402[/tex]
Setter inn i Taylorformelen:
[tex]1+1\cdot (0.3-0)+\frac{3\cdot (0.3-0)^2}{2}=1.435[/tex] Er ikke dette et for stort tall?
Studerer Datateknikk ved NTNU
Det er godt mulig det er korrekt, men syntes bare at 0.4 i forskjell var litt mye.