Har et par oppgaver jeg gjerne skulle fått litt hjelp med.
Nummer 1:
Har vist at [tex]a\equiv b\pmod{r^n}\Rightarrow a^r\equiv b^r\pmod{r^{n+1}}[/tex], og blir så bedt om å vise at [tex]n^p\equiv n\pmod{p}[/tex] for alle [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] ved induksjon. Noen hint til induksjonstrinnet?
Nummer 2:
Har vist at det finnes [tex]\overline{x},\overline{y}\in\mathbb{Z}/(p)[/tex] slik at [tex]\overline{x}^2+\overline{y}^2=\overline{-1}[/tex] (*). Skal videre vise hvilke elementer (alle?) i [tex]\mathbb{Z}/(p)[/tex] som kan skrives som en sum [tex]\overline{b}=\overline{u}^2+\overline{v}^2[/tex] av to kvadratiske rester.
Tilfellet [tex]p\equiv3\pmod{4}[/tex] løser jeg slik:
Anta at [tex]\overline{a}[/tex] er en kvadratisk rest. Vi har ved Eulers kriterium at [tex](-a)^{\frac{p-1}{2}}\equiv (-1)^{\frac{p-1}{2}}a^{\frac{p-1}{2}}\equiv(-1)\cdot1\equiv -1[/tex]. Altså er, igjen ved Eulers kriterium, [tex]\overline{-a}[/tex] ikke en kvadratisk rest. Vi har [tex]\frac{p-1}{2}[/tex] kvadratiske rester som ikke er [tex]\overline{0}[/tex] (også vist tidligere i oppgaven). På grunn av forkortningsregelen er [tex]\overline{-a}\neq\overline{-b}[/tex] for alle [tex]\overline{a}\neq\overline{b}[/tex], dvs. at vi har [tex]\frac{p-1}{2}[/tex] ulike kvadratiske ikke-rester på formen [tex]\overline{-a}[/tex], der [tex]\overline{a}[/tex] er en kvadratisk rest. Siden vi totalt har bare [tex]\frac{p-1}{2}[/tex] ikke-kvadratiske rester, kan alle skrives på denne formen. Anta [tex]\overline{z}^2=\overline{a}[/tex]. Fra (*) får vi da at [tex]\overline{xz}^2+\overline{yz}^2=\overline{-a}[/tex], så alle ikke-kvadratiske rester kan skrives som en sum av to kvadratiske rester. Enhver kvadratisk rester kan skrives som en sum av to kvadratiske rester ved at vi lar den ene addenden være [tex]\overline{0}[/tex], og dermed har vi vist at alle elementer i [tex]\mathbb{Z}/(p)[/tex] kan skrives som en sum av to kvadratiske rester.
Noen kommentarer til dette og/eller noen tips til hvordan jeg kan gå fram når [tex]p\equiv1\pmod{4}[/tex]?
På forhånd takk for alle svar.
Tallteori-oppgaver
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
$(n+1)^p = n^p + {p\choose p-1}n^{p-1}+...+ 1$.
Vi vet at $n^p\equiv n \,\mod p$, så $(n+1)^p \equiv n+1 + {p\choose p-1}n^{p-1}+ {p\choose p-2}n^{p-2}+...+{p\choose 1}n$.
Siden p er prim, vil ${p\choose k}\equiv 0\,\mod p $ for alle 0<k<p, så resultatet følger.
Vi vet at $n^p\equiv n \,\mod p$, så $(n+1)^p \equiv n+1 + {p\choose p-1}n^{p-1}+ {p\choose p-2}n^{p-2}+...+{p\choose 1}n$.
Siden p er prim, vil ${p\choose k}\equiv 0\,\mod p $ for alle 0<k<p, så resultatet følger.
Ser greit ut på nr. 2 så langt, tror jeg.
Kan ta tilfellet p=5:
Anta at a ikke er en kvadratisk rest. Da er $a^2\equiv 1 \, mod 5$, og $a\equiv \pm 1$ (siden Z/(5) er en kropp), og følgelig er a enten på formen $x^2+y^2$ eller $0^2+1^2$.
EDIT: (Cluet er at n-tegradspolynomer i $\mathbb{Z}_p[X]$ har maksimalt n røtter dersom p er primtall)
Kan ta tilfellet p=5:
Anta at a ikke er en kvadratisk rest. Da er $a^2\equiv 1 \, mod 5$, og $a\equiv \pm 1$ (siden Z/(5) er en kropp), og følgelig er a enten på formen $x^2+y^2$ eller $0^2+1^2$.
EDIT: (Cluet er at n-tegradspolynomer i $\mathbb{Z}_p[X]$ har maksimalt n røtter dersom p er primtall)