Rekursjonslikninger

[Silvio Dante]

Hei, skulle gjerne hatt litt assistanse hva angår følgende oppgave;

Løs rekursjonen [tex]a_n - a_{n-1} - a_{n-2} = 0, n \geq 2, a_0 = 1[/tex] og [tex]a_1 = 2[/tex]

Setter opp andregradslikningen [tex]r^2 - 1 -1 = 0[/tex] og får [tex]r = \frac{1 \pm \sqrt{5}} {2}[/tex]

Setter inn i generell løsning for rek.likn:

[tex]a_n = c_1 \cdot ({\frac{1 + \sqrt{5}} {2}})^n + c_2 ({\frac{1 - \sqrt{5}} {2}})^n[/tex]

Setter inn randbetingelsene og får at [tex]1 = c_1 + c_2 => c_1 = 1 - c_2[/tex]og at [tex]2 = ({\frac{1 + \sqrt{5}} {2}}) \cdot c_1 + 2 = ({\frac{1 - \sqrt{5}} {2}}) \cdot c_2[/tex]

Jeg får videre at [tex]c_2 = \frac{1 - \sqrt{5}} {4}[/tex]og at [tex]c_1 = \frac{3 + \sqrt{5}} {4}[/tex].

Læreren får derimot at både [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] er lik [tex]\frac{1} {\sqrt{5}}[/tex] og at det i stedet for opphøyd i n skal være [tex]n+2[/tex] i linje 4.

=

Noen som kan tilby litt assistanse?

PS. Phew, LaTex-koding er stress.

[Kork]

Jeg får at [tex]{c_1} = {{\sqrt 5 - 3} \over {\sqrt 5 - 5}},{c_2} = {{\sqrt 5 + 3} \over {\sqrt 5 + 5}}[/tex], det er veldig greit å prøve svaret med en avansert kalkulator.

[Brahmagupta]

Læreren sitt svar er riktig. Ditt svar er nok ikke helt riktig. Merk at det kunne vært riktig selv om det så litt annerledes ut, men i dette tilfellet
må du ha gjort noen feil i utregningen.

Rekken er ekvivalent med Fibonacci rekken forskjøvet to ledd frem. Den generelle Fibonacci rekken kan skrives som [tex]F_{n+2}=F_{n+1}+F_n[/tex]
som er ekvivalent med [tex]F_{n+2}-F_{n+1}-F_n=0[/tex] med startverdier [tex](F_0,F_1)=(0,1)[/tex]. Merk at da blir [tex]F_2=1[/tex] og [tex]F_3=2[/tex]
og det er dette jeg mener med forskjøvet med to ledd. Denne differensligningen har løsning
[tex]F_n=\frac1{\sqrt5}((\frac{1+\sqrt5}2)^n-(\frac{1-\sqrt5}2)^n)[/tex]
Da kan man se at [tex]a_n=F_{n+2}[/tex] som tilsvarer læreren sin løsning.

Hvis du skulle funnet [tex]c_1[/tex] og [tex]c_2[/tex] ved å løse ligningssystemet ditt direkte skulle du fått [tex]c_1=\frac{3+\sqrt5}{2\sqrt5}[/tex]
og [tex]c_2=\frac{3-\sqrt5}{2\sqrt5}[/tex].

Grunnen til at disse to løsningene er like er at [tex](\frac{1\pm \sqrt5}{2})^2=\frac{3\pm\sqrt5}{2}[/tex]

[Silvio Dante]

Hehe, fantastisk. Takk for svar begge to.