Partielle diff.likninger
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
ethronsen
Ved separasjon av variable for å løse en partiell diff.likning, antar man alltid at de to separate diff.likningene enten er lik -p^2 eller k > 0, lurer bare på om det er noen måte å "se" hvilken form svaret vil ha? Vet at varmelikningen vil ha -p^2 og bølgelikningen vil ha k, men aner ikke hva jeg skal gjøre om likningen er på noen annen form. Takk for svar
Regner med dette er i forbindelse med de partielle diff.likningene i matte 4k ved NTNU?
Hvorvidt vi setter $k=-p^2$, $k=p^2$ eller $k=0$ er avhengig av randbetingelsene. Skal du være helt sikker burde du altså prøve å løse den aktuelle diff.likningen din med alle tre. Du vil i mange tilfeller få, når du tar randbetingelsene i betraktning, kun triviell løsning for en eller to av dem.
La oss si f.eks at $u(x,t) = X(x)T(t)$ og $u(0,t)=u(\pi,t) = 0$. Dette gir at $X(0)T(t)=X(\pi)T(t)=0 \Rightarrow X(0)=X(\pi)=0 $ da vi ikke er interessert i triviell løsning. Anta at vi har funnet at $\frac{X''}{X} = k$ som videre gir $X'' - kX = 0$. Denne kan altså gi tre forskjellige type løsninger avhengig av hva $k$ er. La oss prøve å kombinere de forskjellige løsningeen med randbetingelsene.
$k = p^2 \Rightarrow X(x) = C e^{p x} + D e^{-p x}$. Setter inn randbetingelsene: $X(\pi) = C e^{p \pi} + D e^{-p \pi} = X(0) = C + D = 0$. Dette gjelder kun hvis $C=D=X(x)=0$. Dette gir $u(x,t)=0$ som er uinterresant.
$k = 0 \Rightarrow X(x) = Ax + B$. Setter du inn randebetingelsene her ser du også at du får $X(x) = 0$ som er uinteressant. Dermed gjenstår bare muligheten at $k<0$.
Dersom randbetingelsen f.eks hadde involvert den deriverte i stedet kan det hende vi måtte ha valgt en annen $k$. Ofte vil da også $k=0$ være en mulighet.
Hvorvidt vi setter $k=-p^2$, $k=p^2$ eller $k=0$ er avhengig av randbetingelsene. Skal du være helt sikker burde du altså prøve å løse den aktuelle diff.likningen din med alle tre. Du vil i mange tilfeller få, når du tar randbetingelsene i betraktning, kun triviell løsning for en eller to av dem.
La oss si f.eks at $u(x,t) = X(x)T(t)$ og $u(0,t)=u(\pi,t) = 0$. Dette gir at $X(0)T(t)=X(\pi)T(t)=0 \Rightarrow X(0)=X(\pi)=0 $ da vi ikke er interessert i triviell løsning. Anta at vi har funnet at $\frac{X''}{X} = k$ som videre gir $X'' - kX = 0$. Denne kan altså gi tre forskjellige type løsninger avhengig av hva $k$ er. La oss prøve å kombinere de forskjellige løsningeen med randbetingelsene.
$k = p^2 \Rightarrow X(x) = C e^{p x} + D e^{-p x}$. Setter inn randbetingelsene: $X(\pi) = C e^{p \pi} + D e^{-p \pi} = X(0) = C + D = 0$. Dette gjelder kun hvis $C=D=X(x)=0$. Dette gir $u(x,t)=0$ som er uinterresant.
$k = 0 \Rightarrow X(x) = Ax + B$. Setter du inn randebetingelsene her ser du også at du får $X(x) = 0$ som er uinteressant. Dermed gjenstår bare muligheten at $k<0$.
Dersom randbetingelsen f.eks hadde involvert den deriverte i stedet kan det hende vi måtte ha valgt en annen $k$. Ofte vil da også $k=0$ være en mulighet.