Hei
Har blitt møtt med følgende oppgave:
La $z,w$ være to komplekse tall der $\bar{z}w\neq 1$. Bevis at
$\left|\frac{w-z}{1-\bar{w}z}\right|<1$ dersom $|z|<1$ og $|w|<1$
og at
$\left|\frac{w-z}{1-\bar{w}z}\right|=1$ dersom $|z|=1$ og $|w|=1$
[Hint: Hvorfor kan man anta at $z$ er reell? Det er da tilstrekkelig å vise at
$(r-w)(r-\bar{w})\leq (1-rw)(1-r\bar{w})$
med likhet for passende $r$ og $|w|$.]
Noen tips til hvordan jeg løser første steg, dvs. å vise at man kan anta at $z$ er reell? Hørte et rykte om at man burde forsøke eksponentiell form, men jeg ser ikke helt hvor man går derfra.
Egenskaper ved Blaschke-faktorer
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Skriv $z=re^{i\theta}$. Substitusjonen gir at Blaschke-faktoren blir
$\frac{|w-re^{i\theta}|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|}$.
Vi kan multiplisere telleren med $1=|e^{-i\theta}|$ uten at brøken endres. Altså får vi
$\frac{|w-re^{i\theta}|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|} = \frac{|we^{-i\theta}-r|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|}$.
La $v=we^{-i\theta}$. Substituerer vi dette i den siste brøken fås
$\frac{|v-r|}{|1-\bar{v}r|}$, der $r$ er et ikkenegativt reelt tall mindre enn 1, og $v$ et komplekst tall inni enhetssirkelen.
$\frac{|w-re^{i\theta}|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|}$.
Vi kan multiplisere telleren med $1=|e^{-i\theta}|$ uten at brøken endres. Altså får vi
$\frac{|w-re^{i\theta}|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|} = \frac{|we^{-i\theta}-r|}{|1-\bar{w}e^{i\theta}r|}$.
La $v=we^{-i\theta}$. Substituerer vi dette i den siste brøken fås
$\frac{|v-r|}{|1-\bar{v}r|}$, der $r$ er et ikkenegativt reelt tall mindre enn 1, og $v$ et komplekst tall inni enhetssirkelen.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Anta at $z$ har argument $\theta$. Da kan nevneren skrives som
$|w-z|=|1||w-z|=|e^{-i\theta}||w-z|=|e^{-i\theta}(w-z)|=|we^{-i\theta}-ze^{-i\theta}|=|w'-r|$
Hvor $r$ er reell.
Videre er $\overline{w}z=\overline{w}e^{i\theta}ze^{-i\theta}=\overline{we^{-i\theta}}ze^{-i\theta}=\overline{w'}r$.
Poenget her er at vi kan rotere $z$ og $w$ en vinkel $\theta$ om origo uten at uttrykket forandrer verdi, hvilket medfører at vi
kan rotere dem slik at $z$ blir reell.
Edit: Plutarco kom meg visst i forkjøpet!
$|w-z|=|1||w-z|=|e^{-i\theta}||w-z|=|e^{-i\theta}(w-z)|=|we^{-i\theta}-ze^{-i\theta}|=|w'-r|$
Hvor $r$ er reell.
Videre er $\overline{w}z=\overline{w}e^{i\theta}ze^{-i\theta}=\overline{we^{-i\theta}}ze^{-i\theta}=\overline{w'}r$.
Poenget her er at vi kan rotere $z$ og $w$ en vinkel $\theta$ om origo uten at uttrykket forandrer verdi, hvilket medfører at vi
kan rotere dem slik at $z$ blir reell.
Edit: Plutarco kom meg visst i forkjøpet!
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Såvidt jeg kan se er det ikke egentlig nødvendig å gjøre denne forberedelsen før man viser at ulikheten holder.
-
Brahmagupta
- Guru
- Innlegg: 628
- Registrert: 06/08-2011 01:56
Jeg gikk frem på følgende måte. Siden $|z|,|w|<1$ har vi at $(1-|z|^2)(1-|w|^2)>0$ som er ekvivalent med
$1+|zw|^2>|z|^2+|w|^2$. Hvis vi så trekker fra det reelle tallet $2Re(\overline{w}z)=(\overline{w}z+w\overline{z})$
på begge sider får vi at $1-(\overline{w}z+w\overline{z})+|zw|^2>|z|^2+|w|^2-(\overline{w}z+w\overline{z})$.
Hvis vi nå observerer at venstresiden er lik det positive reelle tallet $|1-\overline{w}z|^2$ og at høyresiden
er lik det positive reelle tallet $|w-z|^2$ ender vi opp med den ønskede ulikheten: $|1-\overline{w}z|>|w-z|$.
Merk at utgangspunktet gir oss umiddelbart at vi har likhet når enten $|z|=1$ eller $|w|=1$.
Jeg ser i hvert fall ikke noe galt med dette argumentet. Hvis noen andre gjør det si gjerne i fra!
$1+|zw|^2>|z|^2+|w|^2$. Hvis vi så trekker fra det reelle tallet $2Re(\overline{w}z)=(\overline{w}z+w\overline{z})$
på begge sider får vi at $1-(\overline{w}z+w\overline{z})+|zw|^2>|z|^2+|w|^2-(\overline{w}z+w\overline{z})$.
Hvis vi nå observerer at venstresiden er lik det positive reelle tallet $|1-\overline{w}z|^2$ og at høyresiden
er lik det positive reelle tallet $|w-z|^2$ ender vi opp med den ønskede ulikheten: $|1-\overline{w}z|>|w-z|$.
Merk at utgangspunktet gir oss umiddelbart at vi har likhet når enten $|z|=1$ eller $|w|=1$.
Jeg ser i hvert fall ikke noe galt med dette argumentet. Hvis noen andre gjør det si gjerne i fra!