Invers laplace transform spørsmål

[Calc88]

2 oppgaver jeg sliter litt med. Den ene for jeg ikke til mens den andre lurer jeg på om er riktig.

oppg1 ( for den ikke til)
[tex]\frac{3s+4}{(s+1)^2 +1^2 )}[/tex]
Etter hva wollphramalpha sier så skal svaret bli [tex]-e^3t (2e^t+1)[/tex] eller som jeg ønsker å få det [tex]-e^3t - 2e^4t[/tex]


Men jeg kommer ikke fram til det svaret, hvor her jeg gjort feil ?

oppg2 ( Er dette riktig?)
Løs differensialligningen [tex]{y}'-3y=-15e^{-2t}[/tex] ved hjelp av laplace transform , der y(0) = 6




på forhånd takk

[Calc88]

Ingen som kan hjelpe? Noe som er uklart ?

[Lektorn]

På oppgave 1 må det være en feil med parantesene. Og hva er egentlig oppgaven? Skal brøken settes lik 0 eller forenkles eller hva?

[Nebuchadnezzar]

Du kan for eksempel legge merke til at
$ \hspace{1cm}
\frac{3s+4}{(s+1)^2 +1^2 )}
= 3 \cdot \frac{s+1}{(s+1)^2+1^2} + \frac{1}{(s+1)^2+1^2}
$

Vi husker fra rottman eller en annen gammel støvete ubrukelig bok at

$ \hspace{1cm}
\mathcal{L} \bigl( e^{\omega t} f(t) \bigr) = F(s-\omega)
$

I oppgaven din er (selvsagt?) $\omega=-1$, og vi har videre fra muskel hukommelsen laplace
'transformasjonene for cosinus og sinus i hodet.

$ \hspace{1cm}
\mathcal{L}( \cos \omega t) = \frac{s}{s^2 + \omega^2}
$

Fra dette kan vi konkludere med at

$
\mathcal{L} \bigl( e^{-\omega t} \cos \omega t \bigr) = \frac{s + \omega}{(s+\omega)^2 + \omega^2}
$

Så svaret ditt burde inneholde cos og sin ledd. Derimot om du hadde hatt negativt
fortegn i nevner ville du fått uttrykket du skrev opp (evnt en kombinasjon av cosh og sinh
som forenkles) Her går du frem på samme måte
og bruker frekvens shiftingen fra ovenfor $e^{\omega t} f(t) = F(s-\omega)$