Generell løsning av Ax=0 når jeg vet Ax=b?

[Johan Nes]

Heisann,

[tex]\begin{bmatrix} 2 &6 &1 &8 \\ 1& 3 &0 &2 \\ 3& 9& 1& 10 \end{bmatrix}[/tex]

Jeg har rekkeredusert følgende totalmatrise til redusert trappeform og har funnet den generelle løsningen:

[tex]x_1 = 2 - 3x_2, x_2 er fri, x_3 = 4[/tex]

Oppgaveteksten er som lyder:

Bruk svaret i a) til å finne den generelle løsninga av likningssystemet.
Bruk dette svaret til å skrive opp løsninga av det tilsvarende homogene
likningssystemet.

Det første har jeg altså alt gjort, men hvordan finner jeg ved hjelp av dette svaret løsningen av det tilsvarende homogene likningssystemet?

Og for ordens skyld - hva er det tilsvarende homogene likninssystemet? Er det samme totalmatrise som over, men med null i hele siste kolonne?

Det eneste jeg greier å forstå ut av boken er at ax=b og ax=0 har parallelle løsningssett. Og boken viser et generelt eksempel hvor når man har funnet ax=0 kan finne ax=b ved å legge til en vektor p (uten at dette er særlig godt forklart slik jeg tolker det).

Veldig takknemlig om noen kan hjelpe meg med dette.

Mvh

Johan

[sony]

Ja, det er den tilsvarende matrisen med likningen lik null. Ett tips er å få svaret over til vektorform slik: [2,0,4]+x_2[-3,1,0]. Dermed blir løsningen i homogen at du bare endrer [2,0,4] til [0,0,0]

[Johan Nes]

Hei, takk for svar.

Jeg er dessverre ikke helt med.

[sony]

Hei, takk for svar.

Jeg er dessverre ikke helt med.

Hva er det du ikke forstår?

[Johan Nes]

Jeg forstår ikke svaret ditt. I tillegg skal jeg i oppgaven, både for egen del og sensur redegjøre for hva som skjer og hva jeg gjør i oppgaven.

Original totalmatrise (Ax=b?)

[tex]\begin{bmatrix} 2 &6 &1 &8 \\ 1& 3 &0 &2 \\ 3& 9& 1& 10 \end{bmatrix}[/tex]

Vil da det tilsvarende homogene likningsystemet ha følgende totalmatrise (ax=0)?

[tex]\begin{bmatrix} 2 &6 &1 &0 \\ 1& 3 &0 &0 \\ 3& 9& 1& 0 \end{bmatrix}[/tex]

Redusert trappeform av Ax=b gir følgende generelle løsning (på skalarform?):

[tex]x_1 = 2 - 3x_2, x_2 er fri, x_3 = 4[/tex]

På vektorform, skulle vel dette bli den generelle løsningen om jeg har forstått rett:

[tex]x=\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-3x_2\\ x_2 \\ 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\0 \\ 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3x_2\\x_2 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\0 \\ 4 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1\\0 \end{bmatrix}[/tex]

Redusert trappeform av Ax=0 gir følgende generelle løsning (på skalarform?):

[tex]x_1 = - 3x_2, x_2 er fri, x_3 = 0[/tex]

På vektorform:

[tex]x=\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3x_2\\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} =x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

Jeg ser jo nå at dette er samme som Ax=b, men minus vektoren [2,0,4], men jeg skjønner fortsatt ikke helt hva som skjer her eller hvordan jeg skal løse oppgaven.

[Johan Nes]

Theorem 6: Suppose the equation Ax=b is consistent for some given b, and let p be a solution. Then the solution set of Ax=b is the set of all vectors of the form w=p+vh, where vh is any solution of the homogeneous equation Ax=0.

Jeg synes boken er ganske tynn her, men om jeg forstår rett, er p en partikulær løsning av likningssystemet, altså den man får om man setter de frie variablene lik 0?

Dvs [tex]x=\begin{bmatrix} 2\\0 \\ 4 \end{bmatrix}[/tex]

Da vil alle de andre løsningene til ax=b ha formen [tex]x=\begin{bmatrix} 2\\0 \\ 4 \end{bmatrix}+x_2\begin{bmatrix} -3\\1 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

Dermed vil Ax=0 ha løsningen [tex]x=x_2\begin{bmatrix} -3\\1 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

Er dette rett? Og kan jeg skrive det slik? Eller gjør jeg det tungvint?

[Brahmagupta]

Dette er riktig! Hvis vi lar $x$ og $y$ være to løsninger av ligningsystemet ditt, $Ax=b$. Så har vi at
$A(x-y)=Ax-Ay=b-b=0$ Altså er differansen en løsning av det homogene ligningsystemet. Du har funnet at
den generelle løsningen er på formen

$\begin{bmatrix}2\\0\\4\end{bmatrix}+r\begin{bmatrix}-3\\1\\0\end{bmatrix}$

Da vil differansen mellom den generelle løsningen og den partikulære løsningen, $(2,0,4)$,
bli nettopp $r(-3,0,1)$ som da er den generelle løsningen av det homogene ligningssystemet.

Generelt hvis du har løst ligningssystemet, $Ax=b$, og fått en løsning på formen $a_0+r_1a_1+\cdots+r_ka_k$
(her er $r_i$ frie variabler og $a_i$ vektorer), så vil du få løsningen av det homogene ligningsystemet ved å fjerne
$a_0$. Altså $r_1a_1+r_2a_2+\cdots+r_ka_k$.

Her bruker jeg strengt tatt ikke teoremet du siterer direkte, men heller benytter idéen som brukes i beviset.

[Brahmagupta]

Egentlig kan teoremet formuleres litt sterkere.

La $W$ og $V$ være løsningsmengdene til henholdsvis $Ax=b$ og $Ax=0$ ($V=Nul(A)$) og anta at $p$
er en løsning av førstnevnte ligning. Da er funksjonen $f:V\rightarrow W$ definert ved $f(v)=p+v$ en bijeksjon (en til en og på).

Bevis:
Først observerer vi at $A(p+v)=Ap+Av=b+0=b$, som vil si at f faktisk avbilder $V$ inn i $W$. Anta at $f(v)=f(w)$ da er
$v+p=w+p\Rightarrow w=v$. så f er injektiv! Anta nå at $w\in W$. Da er $A(w-p)=Aw-Ap=b-b=0$ så $w-p\in V$. Videre ser
vi at $f(w-p)=w$ som viser at $f$ er surjektiv og dermed en bijeksjon!

Dette sier det samme som teoremet du siterer, men i tillegg får det med at hvis du har løsningsmengden til $Ax=b$, så finner du
løsningsmengden til $Ax=0$ ved å trekke en vilkårlig løsning fra den generelle løsningen (slik jeg gjorde i forrige post).

[sony]

Jeg forstår ikke svaret ditt. I tillegg skal jeg i oppgaven, både for egen del og sensur redegjøre for hva som skjer og hva jeg gjør i oppgaven.

Original totalmatrise (Ax=b?)

[tex]\begin{bmatrix} 2 &6 &1 &8 \\ 1& 3 &0 &2 \\ 3& 9& 1& 10 \end{bmatrix}[/tex]

Vil da det tilsvarende homogene likningsystemet ha følgende totalmatrise (ax=0)?

[tex]\begin{bmatrix} 2 &6 &1 &0 \\ 1& 3 &0 &0 \\ 3& 9& 1& 0 \end{bmatrix}[/tex]

Redusert trappeform av Ax=b gir følgende generelle løsning (på skalarform?):

[tex]x_1 = 2 - 3x_2, x_2 er fri, x_3 = 4[/tex]

På vektorform, skulle vel dette bli den generelle løsningen om jeg har forstått rett:

[tex]x=\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2-3x_2\\ x_2 \\ 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2\\0 \\ 4 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3x_2\\x_2 \\ 0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 2\\0 \\ 4 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1\\0 \end{bmatrix}[/tex]

Redusert trappeform av Ax=0 gir følgende generelle løsning (på skalarform?):

[tex]x_1 = - 3x_2, x_2 er fri, x_3 = 0[/tex]

På vektorform:

[tex]x=\begin{bmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3x_2\\ x_2 \\ 0 \end{bmatrix} =x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}[/tex]

Jeg ser jo nå at dette er samme som Ax=b, men minus vektoren [2,0,4], men jeg skjønner fortsatt ikke helt hva som skjer her eller hvordan jeg skal løse oppgaven.

Svaret jeg fikk, er dette: x= [tex]\begin{bmatrix} 2\\0 \\ 4 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1\\0 \end{bmatrix}[/tex]. Litt kronglete når jeg ikke brukte latex, men dette er den generelle løsningen til likningen, eller Ax=b. Når det er snakk om homogen skal Ax=0, som tilsvarer : x= [tex]\begin{bmatrix} 0\\0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1\\0 \end{bmatrix}[/tex]. Men det er unødvendig å skrive svaret slik, selv om det er riktig. Jeg spurte *****(læreren) i går og han sa at det stemte.

[Johan Nes]

Hjertelig takk, Brahma. Svaret ditt gjør meg ydmyk.

Sliter med en lungebetennelse og en obligatorisk innlevering, så vet ikke om jeg får tid til å studere det du skrev inngående akkurat nå, foruten det første. Datt litt av lasset på det siste innlegget ditt.

Hva studerer du forresten? Ren matematikk?

Når det er snakk om homogen skal Ax=0, som tilsvarer : x= [tex]\begin{bmatrix} 0\\0 \\ 0 \end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix} -3\\ 1\\0 \end{bmatrix}[/tex]. Men det er unødvendig å skrive svaret slik, selv om det er riktig. Jeg spurte *****(læreren) i går og han sa at det stemte.

Men hvorfor tilsvarer det hva du skriver? Slik jeg ser det forklarer du ikke hvorfor eller hvordan du kommer frem til hva du gjør og det er etter min mening viktigere enn selve svaret.

[Brahmagupta]

Hjertelig takk, Brahma. Svaret ditt gjør meg ydmyk.

Sliter med en lungebetennelse og en obligatorisk innlevering, så vet ikke om jeg får tid til å studere det du skrev inngående akkurat nå, foruten det første. Datt litt av lasset på det siste innlegget ditt.

Hva studerer du forresten? Ren matematikk?

Ja, jeg studerer ren matematikk på UIO.

[Johan Nes]

Hjertelig takk, Brahma. Svaret ditt gjør meg ydmyk.

Sliter med en lungebetennelse og en obligatorisk innlevering, så vet ikke om jeg får tid til å studere det du skrev inngående akkurat nå, foruten det første. Datt litt av lasset på det siste innlegget ditt.

Hva studerer du forresten? Ren matematikk?

Ja, jeg studerer ren matematikk på UIO.

Ikke verst. Kommet langt? Fornøyd med opplegget? Har et godt inntrykk av UiO.

Vurderte det selv, men hadde ikke selvtillit nok til å satse på det. Mulig det var like lurt.