Derivasjon av trigonometrisk funksjon ved definisjonen

[Arctagon]

La [tex]g(x) = \{x^2sin \left( \frac 1x \right), x \neq 0[/tex]
. . . . . . . . . [tex]\{0, x = 0[/tex]

a) Regn ut g'(0) ved hjelp av definisjonen til den deriverte.
(Hint: Husk på at g(0) = 0)

Jeg har ingen problemer med å derivere uttrykket, men når jeg må gjøre det med definisjonen, så blir det en annen sak. Jeg vet ikke hvordan jeg skal kunne skrive om disse trigonometriske funksjonene.

a) [tex]g^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 \sin\left(\frac{1}{x + h}\right) - x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{h}[/tex]

[Aleks855]

Tror ikke man kan si at $g(0) = 0$ her. Du får jo en null-nevner.

EDIT: Overså at den var GITT en verdi for x=0.

[Lektorn]

Er det en funksjon med delt forskrift du har der?

Har du sjekket at funksjonen er kontinuerlig for x=0?

[Nebuchadnezzar]

Funksjonen er kontinuerlig for $x=0$. Hvertfall i følge geogebra og maple.
Vi har da at definisjonen av den deriverte blir

$ \hspace{1cm}
g'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{g(0+h)-g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} g(h)
$

Siden $g(0)=0$. Herfra kan vi for eksempel innføre $k = 1/h$. Slik at når $h\to 0$ så vil $k \to \infty$.
Altså blir grensen

$ \hspace{1cm}
g'(0) = \lim_{k \to \infty} k \cdot g \left( \frac{1}{k} \right)
$

Ved å sette inn definisjonen av $g$ burde ikke den siste grensen være noe problem å beregne.

[Vektormannen]

Er også ganske greit å bruke skviseteoremet her siden man ender opp med [tex]\lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right)[/tex].

[Arctagon]

Er også ganske greit å bruke skviseteoremet her siden man ender opp med [tex]\lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right)[/tex].

Jeg er ikke kjent med å bruke skviseteoremet der ulikhetene ikke allerede er gitt. Hvordan setter jeg opp dette?

[Vektormannen]

Du kan lage deg en ulikhet; hva kan du si om sinusfunksjonen?

[Arctagon]

Jeg kan lage meg en ulikhet med sin(1/x), men ikke med x^2sin(1/x).

[Vektormannen]

Vi vet at [tex]-1 \leq \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq 1[/tex], så da må [tex]-h \leq h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq h[/tex].