La [tex]g(x) = \{x^2sin \left( \frac 1x \right), x \neq 0[/tex]
. . . . . . . . . [tex]\{0, x = 0[/tex]
a) Regn ut g'(0) ved hjelp av definisjonen til den deriverte.
(Hint: Husk på at g(0) = 0)
Jeg har ingen problemer med å derivere uttrykket, men når jeg må gjøre det med definisjonen, så blir det en annen sak. Jeg vet ikke hvordan jeg skal kunne skrive om disse trigonometriske funksjonene.
a) [tex]g^\prime(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 \sin\left(\frac{1}{x + h}\right) - x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{h}[/tex]
Derivasjon av trigonometrisk funksjon ved definisjonen
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Funksjonen er kontinuerlig for $x=0$. Hvertfall i følge geogebra og maple.
Vi har da at definisjonen av den deriverte blir
$ \hspace{1cm}
g'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{g(0+h)-g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} g(h)
$
Siden $g(0)=0$. Herfra kan vi for eksempel innføre $k = 1/h$. Slik at når $h\to 0$ så vil $k \to \infty$.
Altså blir grensen
$ \hspace{1cm}
g'(0) = \lim_{k \to \infty} k \cdot g \left( \frac{1}{k} \right)
$
Ved å sette inn definisjonen av $g$ burde ikke den siste grensen være noe problem å beregne.
Vi har da at definisjonen av den deriverte blir
$ \hspace{1cm}
g'(0) = \lim_{h\to 0} \frac{g(0+h)-g(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} g(h)
$
Siden $g(0)=0$. Herfra kan vi for eksempel innføre $k = 1/h$. Slik at når $h\to 0$ så vil $k \to \infty$.
Altså blir grensen
$ \hspace{1cm}
g'(0) = \lim_{k \to \infty} k \cdot g \left( \frac{1}{k} \right)
$
Ved å sette inn definisjonen av $g$ burde ikke den siste grensen være noe problem å beregne.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Er også ganske greit å bruke skviseteoremet her siden man ender opp med [tex]\lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right)[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer
Jeg er ikke kjent med å bruke skviseteoremet der ulikhetene ikke allerede er gitt. Hvordan setter jeg opp dette?Vektormannen skrev:Er også ganske greit å bruke skviseteoremet her siden man ender opp med [tex]\lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right)[/tex].
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Du kan lage deg en ulikhet; hva kan du si om sinusfunksjonen?
Elektronikk @ NTNU | nesizer
-
- Euler
- Innlegg: 5889
- Registrert: 26/09-2007 19:35
- Sted: Trondheim
- Kontakt:
Vi vet at [tex]-1 \leq \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq 1[/tex], så da må [tex]-h \leq h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq h[/tex].
Elektronikk @ NTNU | nesizer