Limes

[Ron Wood]

Jeg samler noen oppgaver jeg ikke får til her jeg.

Evaluate the limits
1)
lim [sub](x,y)->(0,0)[/sub] (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup])/y

2)
lim [sub](x,y)->(0,0)[/sub] x/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup])

3)
lim [sub](x,y)->(0,0)[/sub] y[sup]3[/sup]/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup])

og til slutt 4)

How can the function
lim [sub](x,y)->(0,0)[/sub] (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] - x[sup]3*y[/sup]3)/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]), x ulik y,
be defined along the line x=y so that the resulting function is continous on the whole xy-plane.

Setter pris på om noen kunne tatt seg tid til å forklare meg dette.

[Solar Plexsus]

La (r,θ) være polarkoordinatene til (x,y) (dvs. at x=r cosθ og y=r sinθ). Da blir

x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup](cos[sup]2[/sup]θ + sin[sup]2[/sup]θ) = r[sup]2[/sup].

Videre vil (x,y) -> (0,0) hvis og bare hvis r -> 0. Herav følge at

1)

lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] y/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) = lim[sub]r->0[/sub] r sinθ / r[sup]2[/sup] = lim[sub]r->0[/sub] sinθ / r = ±∞.

Så denne grenseverdien eksisterer ikke.

I oppgave 2 og 3 kan du bruke samme metode. Når det gjelder oppgave 4, må du nesten forklare hva uttrykket x[sup]3*y[/sup]3 betyr.

[Ron Wood]

Skal være x[sup]3[/sup]*y[sup]3[/sup].

Går det også an finne grensene ved å bruke den formelle definisjonen av grenser? I så fall, hvordan blir det på 1)?

[Solar Plexsus]

Jeg tror ikke det er noen god ide å beregne disse grenseverdiene vha. av defininsjonen av grenseverdi. Dette er vanskelig nok å gjøre når vi skal beregne grenseverdier av uttrykk i en variabel.

Denne metoden med innføring av polare koordinater er både velkjent og velprøvd. Poenget er at du her omformer grenseverdien av typen lim[sub](x,y)->0 [/sub] f(x,y) til lim[sub]r->0[/sub] f(r cosθ,r sinθ) som er enklere å beregne enn førstnevnte grenseverdi.

NB: Jeg ser nå at jeg har byttet om teller og nevner i min beregning av grenseverdien i oppgave 1. Så grenseverdien som skal beregnes, er

lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) / y = lim[sub]r->0[/sub] r[sup]2[/sup] / (r sinθ) = lim[sub]r->0[/sub] r/sinθ = 0/sinθ = 0.

[Ron Wood]

Akkurat, da skal jeg bruke den metoden. Rart at boken ikke nevner den metoden i det hele tatt i kapitlet om grenser og kontinuitet av flervariable funksjoner.

Uansett, fasiten mener at grensen ikke eksisterer i 1).

[Magnus]

La (r,θ) være polarkoordinatene til (x,y) (dvs. at x=r cosθ og y=r sincos[sup]2[/sup]θ). Da blir

x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup] = r[sup]2[/sup](cos[sup]2[/sup]θ + sin[sup]2[/sup]θ) = r[sup]2[/sup].

Videre vil (x,y) -> (0,0) hvis og bare hvis r -> 0. Herav følge at

1)

lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] y/(x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) = lim[sub]r->0[/sub] r sinθ / r[sup]2[/sup] = lim[sub]r->0[/sub] sinθ / r = ±∞.

Så denne grenseverdien eksisterer ikke.

I oppgave 2 og 3 kan du bruke samme metode. Når det gjelder oppgave 4, må du nesten forklare hva uttrykket x[sup]3*y[/sup]3 betyr.

: Så denne grenseverdien eksisterer ikke.

[Gjest]

(...)
NB: Jeg ser nå at jeg har byttet om teller og nevner i min beregning av grenseverdien i oppgave 1. Så grenseverdien som skal beregnes, er

lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) / y = lim[sub]r->0[/sub] r[sup]2[/sup] / (r sinv) = lim[sub]r->0[/sub] r/sinv = 0/sinv = 0.

Her har han beregnet r/sinv, som er oppgaven, ikke sinv/r. Er det jeg som tuller nå?

[Solar Plexsus]

1) Fasiten er korrekt. Problemet er at denne grenseverdien må være den samme uansett hvordan punktet (x,y) nærmer seg (0,0). Anta at (x,y) nærmer seg origo langs parabelen y=ax[sup]2[/sup] der a er en konstant <> 0. Dette medfører at

lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) / y
= lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] x[sup]2[/sup]/y + lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] y
= lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] x[sup]2[/sup]/y + 0
= lim[sub]x->0[/sub] x[sup]2[/sup]/(ax[sup]2[/sup])
= lim[sub]x->0[/sub] 1/a
= 1/a.

Så grenseverdien er en funksjon av konstanten a som kan velges fritt. Dermed må konklusjonen bli at denne grenseverdien ikke eksisterer.


2) På tilsvarende måte kan du ved å sette y=x i oppgave 2 vise at denne grenseverdien heller ikke eksisterer (Ender opp med lim[sub]x->0[/sub] 1/(2x)).


3) Her kan det være lurt å bruke polare koordinater. Et slik variabelbytte gir

lim[sub](x,y)->(0,0)[/sub] y[sup]3[/sup] / (x[sup]2[/sup] + y[sup]2[/sup]) = lim[sub]r->0[/sub] r[sup]3[/sup] sin[sup]3[/sup]θ / r[sup]2[/sup] = lim[sub]r->0[/sub] r sin[sup]3[/sup]θ = 0

fordi │sinθ│<=1 for alle reelle verdier av θ .

[Ron Wood]

Greit, takk skal du ha.
En annen måte kan være å se på |f(x,0)| og |f(0,y)| når henholdsvis x og y går mot null. Den synes jeg er lettere.