Let A be an nxn matrix, and let v[sub]1[/sub], v[sub]2[/sub], .., v[sub]n[/sub] be linearly independent vetors in R[sup]n[/sup] expressed as nx1 matrices. What must be true about A for Av[sub]1[/sub], Av[sub]2[/sub], .., Av[sub]n[/sub] to be linearly independent?
Hm, ja.
Lineær uavhengighet
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis A er invertibel, så er Av1, ..., Avn lineært uavhengige:
La A være invertibel og c1,...,cn skalarer slik at
c1Av1+...+cnAvn=0
A(c1v1)+...+A(cnvn)=0
Nå kan vi gange med A^(-1) og får:
c1v1+...+cnvn=0
Siden v1,...,vn er lineært uavhengige, så er c1=...=cn=0, altså er Av1,...,Avn lineært uavhengige.
La A være invertibel og c1,...,cn skalarer slik at
c1Av1+...+cnAvn=0
A(c1v1)+...+A(cnvn)=0
Nå kan vi gange med A^(-1) og får:
c1v1+...+cnvn=0
Siden v1,...,vn er lineært uavhengige, så er c1=...=cn=0, altså er Av1,...,Avn lineært uavhengige.
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
La B og C være nxn-matrisene som har hhv. v[sub]i[/sub] og Av[sub]i[/sub] som kolonnevektor nummer i. Da er C=AB. Ergo blir
det(C) = det(AB) = det(A)*det(B)
Nå er det(B)<>0 i.o.m. at kolonnevektorene i B er lineært uavhengige. M.a.o. er det(C)=0 hvis og bare det(A)=0. Så hvis kolonnevektorene Av[sub]1[/sub], Av[sub]2[/sub], ..., Av[sub]n[/sub] i C er lineært uavhengige (i.e. det(C)<>0) hvis og bare hvis A er invertibel (i.e. det(A)<>0).
det(C) = det(AB) = det(A)*det(B)
Nå er det(B)<>0 i.o.m. at kolonnevektorene i B er lineært uavhengige. M.a.o. er det(C)=0 hvis og bare det(A)=0. Så hvis kolonnevektorene Av[sub]1[/sub], Av[sub]2[/sub], ..., Av[sub]n[/sub] i C er lineært uavhengige (i.e. det(C)<>0) hvis og bare hvis A er invertibel (i.e. det(A)<>0).