En forskningsubåt har et sirkulært vindu med radius 50 cm. Vinduets sentrum er 10
meter under havoverflaten. Finn den totale kraften F mot vinduet som oppstår på
grunn av det hydrostatiske trykket.
Jeg ser ikke helt hvordan jeg skal løse oppgaven, og generelt tenke/resonnere her.
Jeg har tegnet opp figuren, litt dårlig nok og unøyaktig, men jeg ser ikke hvordan man skal anvende integral her.
Og hvilken funksjon skal man se på?
Integral - Anvendelse
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Det hydrostatiske trykket $y$ meter dypt er $P = \rho gy$, der $\rho$ er massetettheten til vann og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Trykk er definert til å være kraft per areal, altså $P = \frac{F}{A}\Rightarrow F = PA$. For et lite areal $dA$ har man da $dF = P~dA = \rho gy~dA$. Vet du hvordan du kan fortsette?
-
Gjest
Hei, skal vi se her.MatIsa skrev:Det hydrostatiske trykket $y$ meter dypt er $P = \rho gy$, der $\rho$ er massetettheten til vann og $g$ er tyngdeakselerasjonen. Trykk er definert til å være kraft per areal, altså $P = \frac{F}{A}\Rightarrow F = PA$. For et lite areal $dA$ har man da $dF = P~dA = \rho gy~dA$. Vet du hvordan du kan fortsette?
Den d'en foran A'en, står det for delta, altså endringen, eller derivert? Jeg ser for meg delta, ettersom dA/dx ville vært derivert?
Uansett,så tenker jeg meg kanskje videre slik?
[tex]dF=PdA=pgy\cdot dA[/tex]
[tex]F=pgy\int dAdr[/tex]
Altså, pgy = konstant, og settes utenfor, også tenker jeg å integrere arealfunksjonen?
Btw, hvordan skal jeg tenke meg hva som skal være integrasjonsgrensene her?
Fortsetter:
[tex]F=\pi pgy\int r^2dr[/tex]
$d$-en foran $A$-en brukes til å betegne noe som er uendelig lite, som i uttrykket $\int f(x)~dx$. Du kan ikke sette $y$ på utsiden, ettersom $y = 9.50~m$ i toppen av vinduet, og $y = 10.50~m$ i bunnen av vinduet. For å finne den totale kraften $F$ kan du legge sammen alle de små kreftene $dF$, altså integrere $dF = P~dA$ over vinduet. $$\int_{\rm vindu} dF = F = \int_{\rm vindu} P~dA = \rho g\int_{\rm vindu}y~dA = \rho g\int_{\rm vindu}(50-h)~dA$$
der $h$ er høyden over senteret til vinduet, slik at $y = 50 - h$. For å evaluere integralet kan du for eksempel finne et uttrykk for $dA$ ved å dele opp vinduet i tynne horisontale rektangler med bredde $\sqrt{0.5^2-h^2}$ og høyde $dh$, og integrere fra $h = -0.50$ til $h = 0.50$.
der $h$ er høyden over senteret til vinduet, slik at $y = 50 - h$. For å evaluere integralet kan du for eksempel finne et uttrykk for $dA$ ved å dele opp vinduet i tynne horisontale rektangler med bredde $\sqrt{0.5^2-h^2}$ og høyde $dh$, og integrere fra $h = -0.50$ til $h = 0.50$.