Open balls are closed

[mikki155]

I'm back!

Sitter helt fast på en oppgave som egentlig ikke er så vanskelig:

"Define a metric [tex]d[/tex] on [tex]\mathbb{R}[/tex] by [tex]d(x, y) = \frac {1}{\pi} |{\textrm{arctan}}(x) - {\textrm{arctan}}(y)|[/tex]

Show that the open unit ball in ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) is closed."

Jeg viste i øving 7 at [tex]d[/tex] må være en metric, fordi [tex]\textrm{arctan}(x)[/tex] er en injektiv funksjon. Så dette trengs ikke vises.

Det jeg har tenkt så langt er at hvis man velger en [tex]y \in \mathbb{R}[/tex] \ [tex]B_1 (x)[/tex] (komplementærsettet), hvor [tex]B_1(x)[/tex] er den åpne enhetsballen på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]), og viser ved f. eks. kontradiksjon at [tex]d(x, y) < 1[/tex] ved å ta utgangspunkt i den lukkede ballen [tex]\tilde{B_1} (y)[/tex], så må det bety at valget for [tex]y[/tex] ikke holder og at ballen på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) derfor må være lukket. Problemet er at jeg får [tex]d(x, y) \geq 1[/tex] som er akkurat det en skulle forvente. Jeg kan sikkert vise mer utregninger hvis det trengs. Er ganske tom for ideer akkurat nå, så setter pris på innspill

[Brahmagupta]

Nøkkelen ligger i at metrikken din er begrenset. Mer presist, er $|\arctan(x)|<\pi/2$
og dermed ved trekantulikheten
\[\frac1{\pi}|\arctan(x)-\arctan(y)|<\frac1{\pi}2\frac{\pi}2=1.\]
Videre er da $B_1(x)=\{y\in\mathbb{R}\; |\; d(x,y)<1\}=\mathbb{R}$ for enhver $x\in \mathbb{R}$.
I et vilkårlig metrisk rom $(X,d)$ vil alltid hele rommet være både åpent og lukket, så i dette
tilfellet er $B_1(x)=\mathbb{R}$ lukket (og åpen).

[mikki155]

Fantastisk, tusen takk! =D

[mikki155]

På neste deloppgave skal en vise at ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) ikke er komplett.

Holder det å vise at hvis en kan finne en sekvens som konvergerer i [tex]\mathbb{R}[/tex] (Cauchy), men ikke på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) så da kan den ikke være komplett?

F. eks. la [tex]{x}_n = 1/n^2[/tex]som vil konvergere i [tex]\mathbb{R}[/tex]. Men siden [tex]d(x_m, x_n) < 1[/tex] ikke holder for enhver [tex]x_m[/tex] og [tex]x_n,[/tex] [tex]m \geq n[/tex] så vil den ikke konvergere på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) (?)

[Gustav]

På neste deloppgave skal en vise at ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) ikke er komplett.

Holder det å vise at hvis en kan finne en sekvens som konvergerer i [tex]\mathbb{R}[/tex] (Cauchy), men ikke på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) så da kan den ikke være komplett?

F. eks. la [tex]{x}_n = 1/n^2[/tex]som vil konvergere i [tex]\mathbb{R}[/tex]. Men siden [tex]d(x_m, x_n) < 1[/tex] ikke holder for enhver [tex]x_m[/tex] og [tex]x_n,[/tex] [tex]m \geq n[/tex] så vil den ikke konvergere på ([tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]d[/tex]) (?)

Virker som du blander sammen begrepene. Det du ønsker er å finne en Cauchy-følge som ikke konvergerer. F.eks. kan vi la $x_n=n$ (som er Cauchy med den nevnte metrikken). Da vil $\lim_{n\to\infty} x_n=\infty \not \in \mathbb{R}$. Ergo eksisterer det en Cauchy-følge som ikke konvergerer, og rommet er ikke komplett.

[mikki155]

I see, jeg tenkte motsatt ^^
Tenkte faktisk på [tex]x_n = n[/tex], men slo det bare fra meg av en eller annen grunn