Jeg satte opp integralet for volumEt vannkar fremkommer ved å dreie kurven
$x = \sqrt[4]{\sin{y}} \text{, for } 0 \leq y \leq \frac{\pi}{2}$
om y-aksen(x og y er i desimeter).
Sett opp et integral(uten å regne ut integralet) for vannvolumet når vanndybden midt i karet er h.
Karet fylles med vann. Vannmengden som strømmer ned i karet per tidsenhet er konstant og lik 2 liter per minutt. Hvor fort øker vanndybden $h$ når $h= \frac{\pi}{6}$ dm?
$V = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x^{2}dy = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( \sqrt[4]{\sin{y}} \right)^{2}dy = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\sin{y}}\right)dy$
noterer at $dV = 2$ liter/minutt, og vanndybde $h = \frac{\pi}{6}$
Hvis jeg deriverer volumformelen mhp. h får jeg
$\frac{dV}{dh} = \pi \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sqrt{\sin{y}}\right)dy \Leftrightarrow \frac{dV}{dh} = \pi\sqrt{\sin{h}}$
Setter inn verdier og løser for dh og får:
$dh = \frac{dV}{\pi\sqrt{\sin{h}}} = \frac{2}{\pi\frac{1}{2}} = \frac{4}{\pi} \approx 1.27$ desimeter/minutt
Hvis noen gidder å se er jeg veldig takknemlig.