Ortogonale Polynomer

[stenvik team]

Hei, trenger hjelp med denne oppgaven
Finn de første 3 polynomene som er ortogonale på indreproduktet

[tex]\langle f,g\rangle =\int_{0}^{1}w(x)f(x)g(x)dx[/tex]

w(x) = [tex]\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex] i [0, 1]

Jeg skal altså regne ut [tex]\phi_o\phi_1[/tex]

For det første er jeg usikker på hva jeg skal bruke weight function till, for det andre er jeg usikker på hvordan man regner ut [tex]\langle\phi_ox,\phi_o\rangle[/tex] som jeg trenger for[tex]\phi_1[/tex], eller rett og slett hvordan man regner ut[tex]\langle x,y\rangle[/tex] generelt.

[Gustav]

Hvilken form har de to enkleste polynomene (opp til multiplikasjon med konstant)? Ansatz: f(x)=1, g(x)=x+a. Krev så at indreproduktet mellom disse er 0, så finner du konstantleddet $a$.

[stenvik team]

Begynner å bli litt frustrert nå, har lest gjennom en forklaring til ortogonale polynomer flere ganger men klarer ikke å forstå det
(forklaringen starter på side 27 http://www.math.ntnu.no/emner/TMA4215/2 ... eNotes.pdf )

forstår at[tex]\phi_0=1[/tex] pga definisjon og at [tex]\phi_1=x-B_1[/tex]

Men det er når jeg skal regne ut [tex]B_1[/tex] at det blir vanskelig

ser formelen [tex]B_k=\frac{\langle x\phi_k-1,\phi_k-1\rangle}{||\phi_k-1||^{2}}[/tex]

så jeg må regne ut [tex]\langle x\phi_k-1,\phi_k-1\rangle[/tex] og det er her jeg sliter. Skjønner at det har et eller annet med at jeg må bruke at [tex]\phi_0[/tex] og for eksemepel [tex]\phi_1[/tex] er ortogonale, og dermed kreve at indreprodukte er 0, men skjønner som sakt ikke hvordan jeg skal gjøre dette.
,

[Norm]

Du kan bruke nøyaktig samme prosedyre som ved Gram-Schmidt fra lineær algebra. Nå er imidlertid vektorene polynomer, mens indreproduktet er et integral (med vekter). Konstantene bestemmer du etterhvert, dvs. suksessivt som ved G-S algoritmen.