Hei!
Jeg har en oppgave her, som jeg virkelig ikke klarer å se hvordan jeg skal klare å løse den, eller hvordan jeg i det hele tatt skal begynne. Men jeg har jo noen ideer, og hva jeg har prøvd.
Oppgaven er som følger:
En funksjonen er gitt ved:
[tex]f(x,y)=\begin{cases} 8sin(3xy)\cdot \frac{x^2+y^2+7x^2y^2}{x^3y+xy^3} & \text{ hvis } x\neq 0,y\neq 0 \\ L & \text{ hvis } x=0,y=0 \end{cases}[/tex]
Hva må L være for at f skal være kontinuerlig i origo?
Ok, jeg ser at f ikke er definert langs koordinataksene utenom i origo. Så, jeg tenker da at først å bruke metoden om å se hva som skjer når vi nærmer oss langs x-aksen, og tilsvarende når vi nærmer oss langs y-aksen vil ikke fungere.
Videre prøvde jeg å se hva som skjer når vi nærmer oss langs linja x=y, men jeg endte opp med bare noe tull.
Nå vet jeg ikke helt hva jeg skal gjøre.
Jeg vet også hva definisjonen for kontinuitet for flervariable funksjoner sier:
[tex]\lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)=f(0,0)[/tex]
Det er da altså for at f skal være kontinuerlig i origo.
Jeg vet ikke om polare koordinater kan føre noe frem?
Tusen takk for all hjelp.
Grenseverdi
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Hvis du setter x=y faller mye vekk, og du ender opp med 24 sinc u, hvor u=kx
så svaret er L=24. (Altså, L=24 er nødvendig, men med argumentet over, ikke tilstrekkelig).
Er det nødvendig å vise at f er kontinuerlig for L=24. Antar ikke, da oppgaven impliserer eksistensen av en L slik at f er kontinuerlig i origo, og da L=24 er eneste kandidaten, må det være svaret.
så svaret er L=24. (Altså, L=24 er nødvendig, men med argumentet over, ikke tilstrekkelig).
Er det nødvendig å vise at f er kontinuerlig for L=24. Antar ikke, da oppgaven impliserer eksistensen av en L slik at f er kontinuerlig i origo, og da L=24 er eneste kandidaten, må det være svaret.
Vis det siste ved å bruke samme bevis som for sinc x, x->0.
for små x,y, bytt ut sin (x*y) med (x*y), og du ender opp med 24*(x^2+y^2 + R(x,y)) /x^2+y^2
vis at R(x,y) blir dominert av x^2+y^2, konvertere koordinatsystem til r=x^2+y^2.
Lim r->0 gir 24 for alle radianvinkler. BOOM
for små x,y, bytt ut sin (x*y) med (x*y), og du ender opp med 24*(x^2+y^2 + R(x,y)) /x^2+y^2
vis at R(x,y) blir dominert av x^2+y^2, konvertere koordinatsystem til r=x^2+y^2.
Lim r->0 gir 24 for alle radianvinkler. BOOM