normal undergruppe

[Janhaa]

Trenger litt drahjelp her, og litt mer :

Anta G er en gruppe og N en normal undergruppe av indeks 10, dvs (G : N) = 10.
Forklar hvorfor [tex]\,\,\text g^{10} \in N\,\,for\,\, alle\,\, g \in G[/tex]

[Guest]

Merk deg at [tex]G/N = \{g + N \lvert g \in N \}[/tex] er en gruppe. I tillegg har denne gruppen orden 10. Det vil igjen si at [tex](g+N)^{10}[/tex] er identitetselementet ditt i denne gruppa. Hva er identitetselementet?

[Gjest]

$g \in G$ skulle det selvfølgelig stå.

[Gjest]

Og trolig er $gN$ bedre notasjon enn $g + N$.

[Janhaa]

Merk deg at [tex]G/N = \{g + N \lvert g \in N \}[/tex] er en gruppe. I tillegg har denne gruppen orden 10. Det vil igjen si at [tex](g+N)^{10}[/tex] er identitetselementet ditt i denne gruppa. Hva er identitetselementet?

thanks, dvs

[tex]G/N = \{gN \lvert g \in G \}[/tex] er en gruppe. I tillegg har denne gruppen orden 10. Det vil igjen si at [tex](gN)^{10}[/tex] er identitetselementet ditt i denne gruppa. Hva er identitetselementet?

Ser at:
N er identittselementet i G/N og [tex]\,\text g^{|N|}\, er \,id.\, element\, i \,G.[/tex]

Siden [tex]\,|G/N|=10\,\,[/tex]kan |G|=100 og |N| =10

altså er [tex]\,\text g^{10}\, \,id.\, element\, i \,G.[/tex]
altså:
[tex](gN)^{10}=g^{10}N=N[/tex]
der
[tex]gN \in G/N[/tex]
der gN = N
hvor
[tex]gN \in G/N[/tex]
og
[tex]g \in N[/tex]
dvs
[tex]g^{10} \in N[/tex]
for alle
[tex]g\in G[/tex]
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
hmmmm....holder dette?...tungvint...

[Gustav]

N er identittselementet i G/N og [tex]\,\text g^{|N|}\, er \,id.\, element\, i \,G.[/tex]

Siden [tex]\,|G/N|=10\,\,[/tex]kan |G|=100 og |N| =10

altså er [tex]\,\text g^{10}\, \,id.\, element\, i \,G.[/tex]
altså:
[tex](gN)^{10}=g^{10}N=N[/tex]
der
[tex]gN \in G/N[/tex]
der gN = N
hvor
[tex]gN \in G/N[/tex]
og
[tex]g \in N[/tex]
dvs
[tex]g^{10} \in N[/tex]
for alle
[tex]g\in G[/tex]
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
hmmmm....holder dette?...tungvint...

Kan ikke si jeg helt skjønner tenkemåten din her.

Det guest skriver er jo helt riktig. Her er en annen og litt mer utfyllende måte å skrive det på:

Legg først merke til at siden N er normal i G, så eksisterer kvotientgruppa G/N. Siden indeksen til N er 10 har G/N 10 elementer, alle på formen gN for en eller annen g i G.

Generelt vil ordenen til alle elementer i en endelig gruppa dele ordenen til gruppa.

For en hvilken som helst g i G, betrakter vi så elementet gN i G/N. Fra setningen over må altså gN ha orden som deler |G/N|=10. La oss si at gN har orden n. Da er $(gN)^n=N$. Siden n deler 10 fins en m slik at nm=10. Dermed er $((gN)^n)^m=N^m=N$, så $(gN)^{nm}=(gN)^{10}=g^{10}N=N$. Betrakter vi den siste likheten som likhet mellom mengder, så ser vi at siden identitetselementet er med i N, så må $g^{10}$ være med i N.

[Janhaa]

Kan ikke si jeg helt skjønner tenkemåten din her.
Det guest skriver er jo helt riktig. Her er en annen og litt mer utfyllende måte å skrive det på:
Legg først merke til at siden N er normal i G, så eksisterer kvotientgruppa G/N. Siden indeksen til N er 10 har G/N 10 elementer, alle på formen gN for en eller annen g i G.Generelt vil ordenen til alle elementer i en endelig gruppa dele ordenen til gruppa.
For en hvilken som helst g i G, betrakter vi så elementet gN i G/N. Fra setningen over må altså gN ha orden som deler |G/N|=10. La oss si at gN har orden n. Da er $(gN)^n=N$. Siden n deler 10 fins en m slik at nm=10. Dermed er $((gN)^n)^m=N^m=N$, så $(gN)^{nm}=(gN)^{10}=g^{10}N=N$. Betrakter vi den siste likheten som likhet mellom mengder, så ser vi at siden identitetselementet er med i N, så må $g^{10}$ være med i N.

Takker og bukker igjen! Sliter med å argumentere og klargjøre meg ja... ganske tidkrevende kurs...
Akk ja...

Hvordan skal jeg klassifisere disse gruppene i hht fundamentalteoremet for endelig genererte abelske grupper?

Faktor gruppa til G/N er vel lik 10; |G/N| = 10
Dvs orden er 10, og det er 10 elementer i gruppa.
Skal jeg se og avgjøre om den er homomorf?
Hvordan angripes dette?
\\\\\\\\\\\\
jeg husker hvordan dette utføres f eks med [tex]\,(Z_4 \times Z_6) / <(1, 3)>[/tex]
dette blir:
[tex]\,|Z_4 \times Z_6| / |1, 3| = |G/H|= 24/4=6[/tex]
dvs
[tex]Z_4 \times Z_6\simeq Z_6[/tex]

[Fibonacci92]

Først og fremst må du argumentere for hvorfor $G/N$ er en abelsk gruppe.

Fundamentaltoeremet for abelske grupper sier at den eneste abelske gruppen av orden $10 = 5 \cdot 2$ er $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$.

Dersom $G/N$ ikke er abelsk er den eneste muligheten at $G/N \cong D_{10}$, Dihedralgruppen av orden 10.

En kommentar:

Hva mener du med at en gruppe er homomorf? Det kan finnes homomorfier mellom grupper, men det gir ikke mening å si at en gruppe er homomorf. Man kan derimot si at to grupper er isomorfe dersom det finnes en isomorfi mellom dem, men man sier ikke at to grupper er homomorfe dersom det finnes en homomorfi mellom dem (det finnes jo alltid den trivielle homomorfien).

[Janhaa]

Først og fremst må du argumentere for hvorfor $G/N$ er en abelsk gruppe.
Fundamentaltoeremet for abelske grupper sier at den eneste abelske gruppen av orden $10 = 5 \cdot 2$ er $\mathbb{Z}/5 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z}$.
Dersom $G/N$ ikke er abelsk er den eneste muligheten at $G/N \cong D_{10}$, Dihedralgruppen av orden 10.
En kommentar:
Hva mener du med at en gruppe er homomorf? Det kan finnes homomorfier mellom grupper, men det gir ikke mening å si at en gruppe er homomorf. Man kan derimot si at to grupper er isomorfe dersom det finnes en isomorfi mellom dem, men man sier ikke at to grupper er homomorfe dersom det finnes en homomorfi mellom dem (det finnes jo alltid den trivielle homomorfien).

koker litt her, mente sjølsagt;

Skal jeg se og avgjøre isomorfi?

(jeg skrev jo forsåvidt i eksempelet at, [tex]\,Z_4 \times Z_6 \simeq Z_6[/tex]
dvs [tex]\,Z_4 \times Z_6\,\,[/tex]er isomorfisk med [tex]Z_6).[/tex]

Uansett takker for hjelpa.

[Fibonacci92]

Du mener vel at $Z_4 \times Z_6 / \langle(1,3)\rangle \cong Z_6$. En gruppe av orden 24 kan ikke være isomorf med en av orden 6.

Det kommer forresten ikke helt klart frem for meg hva du spør om.

[Gustav]

Hvordan skal jeg klassifisere disse gruppene i hht fundamentalteoremet for endelig genererte abelske grupper?

Faktor gruppa til G/N er vel lik 10; |G/N| = 10
Dvs orden er 10, og det er 10 elementer i gruppa.
Skal jeg se og avgjøre om den er homomorf?
Hvordan angripes dette?
\\\\\\\\\\\\
jeg husker hvordan dette utføres f eks med [tex]\,(Z_4 \times Z_6) / <(1, 3)>[/tex]
dette blir:
[tex]\,|Z_4 \times Z_6| / |1, 3| = |G/H|= 24/4=6[/tex]
dvs
[tex]Z_4 \times Z_6\simeq Z_6[/tex]

Hvis G er abelsk er G/N abelsk. I så fall er G/N isomorf med $Z_{10}$ (som igjen er isomorf med $Z_{2}\times Z_{5}$ fra fundamentalteoremet).

Det gir for øvrig ingen mening å si at faktorgruppa er lik 10 slik du skriver. Og (gruppe)orden og antall element er det nøyaktig det samme. "isomorfisk" er også feil ord. Det kalles "isomorf" på norsk. Enten har du misforstått endel fundamentale ting, eller så har du skrevet dette i hastverk, for det er mye her som avslører at du ikke har full kontroll over stoffet:)

[Janhaa]

Hvordan skal jeg klassifisere disse gruppene i hht fundamentalteoremet for endelig genererte abelske grupper?
Faktor gruppa til G/N er vel lik 10; |G/N| = 10
Dvs orden er 10, og det er 10 elementer i gruppa.
Skal jeg se og avgjøre om den er homomorf?
Hvordan angripes dette?
\\\\\\\\\\\\
jeg husker hvordan dette utføres f eks med [tex]\,(Z_4 \times Z_6) / <(1, 3)>[/tex]
dette blir:
[tex]\,|Z_4 \times Z_6| / |1, 3| = |G/H|= 24/4=6[/tex]
dvs
[tex]Z_4 \times Z_6\simeq Z_6[/tex]

Hvis G er abelsk er G/N abelsk. I så fall er G/N isomorf med $Z_{10}$ (som igjen er isomorf med $Z_{2}\times Z_{5}$ fra fundamentalteoremet).
Det gir for øvrig ingen mening å si at faktorgruppa er lik 10 slik du skriver. Og (gruppe)orden og antall element er det nøyaktig det samme. "isomorfisk" er også feil ord. Det kalles "isomorf" på norsk. Enten har du misforstått endel fundamentale ting, eller så har du skrevet dette i hastverk, for det er mye her som avslører at du ikke har full kontroll over stoffet:)

Begge deler er korrekt; både hastverk og mangel på kunnskap/forståelse. Nekter ikke der; men derfor spør jeg her!!
Enkelt og greit...

[Gustav]

Selvsagt bare artig at du spør om gruppeteori! Det gir meg en anledning til å friske opp i gammel kunnskap:D

Kan forresten godt skjønne at dette stoffet er uvant, med tildels svært mye ny notasjon. Det er en litt annen måte å tenke på sammenlignet med kalkulus, men det handler mye om å bli fortrolig med begreper, og å tenke litt mer abstrakt. Man har ikke de geometriske, og intuitive bildene å forholde seg til, som i f.eks. flervariabel kalkulus og lineær algebra. Tips: Ha hele tiden avbildninger(isomorfier, automorfier, homomorfier) mellom grupper i bakhodet. Det er det mest sentrale i emnet, egentlig.

[Janhaa]

Selvsagt bare artig at du spør om gruppeteori! Det gir meg en anledning til å friske opp i gammel kunnskap:D
Kan forresten godt skjønne at dette stoffet er uvant, med tildels svært mye ny notasjon. Det er en litt annen måte å tenke på sammenlignet med kalkulus, men det handler mye om å bli fortrolig med begreper, og å tenke litt mer abstrakt. Man har ikke de geometriske, og intuitive bildene å forholde seg til, som i f.eks. flervariabel kalkulus og lineær algebra. Tips: Ha hele tiden avbildninger(isomorfier, automorfier, homomorfier) mellom grupper i bakhodet. Det er det mest sentrale i emnet, egentlig.

jepp, skal huske det!