Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.
[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx
Ubestemt integral (kvadratrot)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Lagrange
- Innlegg: 1264
- Registrert: 04/10-2015 22:21
Har ikke tid til å løse hele akkurat nå, men bruk substitusjonen [tex]u=x^2[/tex] hvor du da får [tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex]Gjest skrev:Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.
[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
Får det ikke til, rett og slett. Har aldri løst integraler med røtter av en parentes.Dolandyret skrev:Har ikke tid til å løse hele akkurat nå, men bruk substitusjonen [tex]u=x^2[/tex] hvor du da får [tex]dx=\frac{du}{2x}[/tex]Gjest skrev:Hei, jeg sitter fast (som alltid). Prøver å løse denne oppgaven, men får det rett og slett ikke til. Har sett på YouTube, diverse nettsider, forelesningsnotater, men er ingenting som forklarer løsningen på denne.
[tex]\int x^{3}(\sqrt{x^{2}+4})[/tex] dx
Hei,
Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]
Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].
Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså
[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].
Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]
da har vi
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]
Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]
Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]
Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].
Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså
[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].
Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]
da har vi
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]
Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]
Tusen takk!!!madfro skrev:Hei,
Som ble sagt fra Dolandyret er det lurt å starte med substitusjon her:
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx[/tex]
Bruk [tex]u = x^2[/tex], da kan du skrive om integralet slik:
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du[/tex].
Herfra må du bruke delvis integrasjon, altså
[tex]\int{ab'} = ab - \int{a'b}[/tex].
Sett [tex]a = u[/tex], slik at [tex]a' = 1[/tex], og
[tex]b' = \sqrt{u+4}[/tex], slik at [tex]b = \frac{2}{3}(u+4)^{3/2}[/tex]
da har vi
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{2} \frac{2}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{1}{2}\int{\frac{2}{3}(u+4)^{3/2}}du[/tex]
[tex]\frac{1}{2}\int{u\sqrt{u+4}}du = \frac{1}{3}u(u+4)^{3/2} - \frac{2}{15}(u+4)^{5/2} + C[/tex]
Tok med integrasjonskonstanten nå, siden det ikke er flere integraler igjen, den burde forsåvidt vært med hele tiden.
Utrykket kan så faktoriseres litt, ved å sette [tex]\frac{1}{15}(u+4)^{3/2}[/tex] utenfor parantesen, og så sette tilbake x istedet for u, og du ender med
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}}dx = \frac{1}{15}(x^2 +4)^{3/2}(3x^2- 8) + C[/tex]
![Very Happy :D](./images/smilies/icon_biggrin.gif)
men bare et spm: hvorfor valgte du u=x^2 og ikke u= x^2+4 ?
-
- Lagrange
- Innlegg: 1264
- Registrert: 04/10-2015 22:21
Fordi det gjør integrasjonen lettere. Med [tex]u=x^2[/tex] får vi trikset mye med begge faktorene, det gjør vi ikke like godt med [tex]u=x^2+4[/tex].
"I want to die peacefully in my sleep like my grandfather, not screaming in terror like his passengers."
-
- Cantor
- Innlegg: 105
- Registrert: 07/12-2014 16:05
Med [tex]u=x^2+4[/tex] får vi
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}} \ dx=\frac{1}{2}\int{(u-4)\sqrt{u} \ du}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int{u^{3/2}-4u^{1/2} \ du}[/tex]
Har erfart at mange røtter integraler lar seg løse ved å substituere alt under rottegnet selvom det ser ut som om det ikke funker.
[tex]\int{x^3\sqrt{x^2+4}} \ dx=\frac{1}{2}\int{(u-4)\sqrt{u} \ du}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}\int{u^{3/2}-4u^{1/2} \ du}[/tex]
Har erfart at mange røtter integraler lar seg løse ved å substituere alt under rottegnet selvom det ser ut som om det ikke funker.