funksjonal-likning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

funksjonal-likning

Innlegg Janhaa » 08/08-2019 15:28

Noen som løser denne:

[tex]f: Z\,->\,Z[/tex]

[tex]f(x+y)=f(x)+f(y)+6xy+1[/tex]
der
[tex]f(x)=f(-x)[/tex]


en metode er jo:
[tex]f(0)=-1[/tex],
[tex]f(1)=2[/tex],
[tex]f(2)=11[/tex],
[tex]f(3)=26[/tex]


og anta ett 2. gradspolynom, som ved regresjon gir:


[tex]f(x)=3x^2-1[/tex]
der
[tex]f(x)=f(-x)[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7839
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: funksjonal-likning

Innlegg DennisChristensen » 08/08-2019 15:55

Vi setter $y=0$ og får at $f(x) = f(x) + f(0) + 1$, så $f(0) = -1$. Videre setter vi $y=-x$, hvilket gir at $-1 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) - 6x^2 + 1 = 2f(x) - 6x^2 + 1$, så $f(x) = 3x^2 - 1$ er eneste mulige løsning. Ettersom denne funksjonen faktisk tilfredsstiller funksjonalliknene, er dette eneste gyldige løsning.
DennisChristensen offline
Fermat
Fermat
Innlegg: 796
Registrert: 09/02-2015 23:28
Bosted: Oslo

Re: funksjonal-likning

Innlegg Janhaa » 08/08-2019 16:21

DennisChristensen skrev:Vi setter $y=0$ og får at $f(x) = f(x) + f(0) + 1$, så $f(0) = -1$. Videre setter vi $y=-x$, hvilket gir at $-1 = f(0) = f(x-x) = f(x) + f(-x) - 6x^2 + 1 = 2f(x) - 6x^2 + 1$, så $f(x) = 3x^2 - 1$ er eneste mulige løsning. Ettersom denne funksjonen faktisk tilfredsstiller funksjonalliknene, er dette eneste gyldige løsning.

enkelt og greit, takker...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 7839
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Ingen registrerte brukere og 21 gjester