True or false, justify your answer.
1) If [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges, then [tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ a_n[/tex] converges.
2) If [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges and [tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ a_n[/tex] converges, then [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges absolutely.
3) If [tex]\sum_{n=1}^\infty a_n[/tex] converges absolutely, then [tex]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ a_n[/tex] converges absolutely.
Kunne trengt hjelp her.
3 true or false (rekker)
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
1) Utsagnet er usant. Moteksempel: [symbol:sum][sub]n>0[/sub]a[sub]n[/sub] med a[sub]n[/sub] = (-1)[sup]n[/sup]/n.
2) Utsagnet er usant. Moteksempel: Rekkene [symbol:sum][sub]n>0[/sub]a[sub]n[/sub] og [symbol:sum][sub]n>0[/sub](-1)[sup]n[/sup]*a[sub]n[/sub] der a[sub]4n-3[/sub] = a[sub]4n-2[/sub] = 1/n og a[sub]4n-1[/sub] = a[sub]4n[/sub] = -1/n for alle naturlige tall n, er begge konvergente. Derimot er rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub]|a[sub]n[/sub]| divergent.
3) Utsagnet er sant. Dette følger direkte av definisjonen av absolutt konvergens og det faktum at |(-1)[sup]n[/sup]a[sub]n[/sub]| = |a[sub]n[/sub]|.
2) Utsagnet er usant. Moteksempel: Rekkene [symbol:sum][sub]n>0[/sub]a[sub]n[/sub] og [symbol:sum][sub]n>0[/sub](-1)[sup]n[/sup]*a[sub]n[/sub] der a[sub]4n-3[/sub] = a[sub]4n-2[/sub] = 1/n og a[sub]4n-1[/sub] = a[sub]4n[/sub] = -1/n for alle naturlige tall n, er begge konvergente. Derimot er rekken [symbol:sum][sub]n>0[/sub]|a[sub]n[/sub]| divergent.
3) Utsagnet er sant. Dette følger direkte av definisjonen av absolutt konvergens og det faktum at |(-1)[sup]n[/sup]a[sub]n[/sub]| = |a[sub]n[/sub]|.