Vis ved induksjon at [symbol:sum] i^2 = (n(n+1)(2n+1))/6.
OG
Vis at n^5-n er delelig med 5 for alle naturlige tall n.
Hvordan løser jeg disse to?!
induksjon
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
Vi har at:
[tex] 1^2 + 2^2 + 3^3 + 4^2 + .. n^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Tester om det er sant for n = 1
[tex]1^2 = \frac {6}{6} = 1[/tex]
Antar sant for n = k
(lett merke til at løsningen som kommer er mindre pen)
Tester for n = k+1
[tex]\frac {(k+1)(k+2)((2k+3)}{6} = \frac {(k^2+3k+2)(2k+3)}{6} = \frac {(2k^3 + 6k^2 + 4k + 3k^2 + 9k + 6}{6} = \frac {2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}[/tex]
Så ser vi på følgende:
[tex]k(k+1)(2k+1) = (k^2+k)(2k+1) = 2k^3 + k^2 + 2k^2 + k = 2k^3 + 3k^2 + k[/tex]
[tex](k+1)^2 = k^2 + 2k + 1[/tex]
[tex] \frac {2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6} = \frac {(2k^3 + 3k^2 + k) + (6k^2 + 12k + 6)}{6} = \frac {k(k+1)(2k+1}{6} + \frac {6(k+1)^2}{6} = \sum _{i=1}^k i^2 + (k+1)^2[/tex]
Q.E.D
Altså den stemmer. For den anre oppgaven sjekk:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... php?t=8293
[tex] 1^2 + 2^2 + 3^3 + 4^2 + .. n^2 = \frac {n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Tester om det er sant for n = 1
[tex]1^2 = \frac {6}{6} = 1[/tex]
Antar sant for n = k
(lett merke til at løsningen som kommer er mindre pen)
Tester for n = k+1
[tex]\frac {(k+1)(k+2)((2k+3)}{6} = \frac {(k^2+3k+2)(2k+3)}{6} = \frac {(2k^3 + 6k^2 + 4k + 3k^2 + 9k + 6}{6} = \frac {2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6}[/tex]
Så ser vi på følgende:
[tex]k(k+1)(2k+1) = (k^2+k)(2k+1) = 2k^3 + k^2 + 2k^2 + k = 2k^3 + 3k^2 + k[/tex]
[tex](k+1)^2 = k^2 + 2k + 1[/tex]
[tex] \frac {2k^3 + 9k^2 + 13k + 6}{6} = \frac {(2k^3 + 3k^2 + k) + (6k^2 + 12k + 6)}{6} = \frac {k(k+1)(2k+1}{6} + \frac {6(k+1)^2}{6} = \sum _{i=1}^k i^2 + (k+1)^2[/tex]
Q.E.D
Altså den stemmer. For den anre oppgaven sjekk:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... php?t=8293
Jeg unner meg faktisk å prøve den andre vha. Candelas løsningsmetode:
[tex]n^5 - n[/tex] kan deles på 5
(1) [tex]n^5 - n = (n-1)(n)(n+1)(n^2+1)[/tex]
(2) Altså må [tex](n-1)(n)(n+1)(n^2+1)[/tex] kunne deles på 5
(3) Vi har en rekke på tre tall etter hverandre, pluss et høyere tall
(4) En av faktorene må nødvendigvis kunne deles på 5
q.e.d.
Grunnen til at en av faktorene må kunne deles på 5, er:
(1) Et naturlig tall (vi bruker titallssystemet) kan deles på 5 hvis, og kun hvis, det slutter på 0 eller 5.
(2) Alle tilfeller der den første delen av rekken på tre tall etter hverandre "støter borti" 0 eller 5, kan deles på 5.
(3) Fire muligheter gjenstår, rekken kan fordeles slik at de siste desimalene i hver faktor blir {1, 2, 3} eller {2, 3, 4} eller {6, 7, 8} eller {7, 8, 9}.
(4) Ved første tilfelle må n slutte på 2, da må [tex]n^2[/tex] slutte på 4, og [tex]n^2 + 1[/tex] slutte på 5.
(5) Ved andre tilfelle må n slutte på 3, [tex]n^2[/tex] slutter på 9 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutter på 0.
(6) I tredje tilfelle må n slutte på 7, [tex]n^2[/tex] slutte på 9 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutte på 0.
(7) I siste tilfelle må n slutte på 8, [tex]n^2[/tex] slutte på 4 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutter på 5.
[tex]n^5 - n[/tex] kan deles på 5
(1) [tex]n^5 - n = (n-1)(n)(n+1)(n^2+1)[/tex]
(2) Altså må [tex](n-1)(n)(n+1)(n^2+1)[/tex] kunne deles på 5
(3) Vi har en rekke på tre tall etter hverandre, pluss et høyere tall
(4) En av faktorene må nødvendigvis kunne deles på 5
q.e.d.
Grunnen til at en av faktorene må kunne deles på 5, er:
(1) Et naturlig tall (vi bruker titallssystemet) kan deles på 5 hvis, og kun hvis, det slutter på 0 eller 5.
(2) Alle tilfeller der den første delen av rekken på tre tall etter hverandre "støter borti" 0 eller 5, kan deles på 5.
(3) Fire muligheter gjenstår, rekken kan fordeles slik at de siste desimalene i hver faktor blir {1, 2, 3} eller {2, 3, 4} eller {6, 7, 8} eller {7, 8, 9}.
(4) Ved første tilfelle må n slutte på 2, da må [tex]n^2[/tex] slutte på 4, og [tex]n^2 + 1[/tex] slutte på 5.
(5) Ved andre tilfelle må n slutte på 3, [tex]n^2[/tex] slutter på 9 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutter på 0.
(6) I tredje tilfelle må n slutte på 7, [tex]n^2[/tex] slutte på 9 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutte på 0.
(7) I siste tilfelle må n slutte på 8, [tex]n^2[/tex] slutte på 4 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutter på 5.
Ellers fin løsning:)sEirik skrev:Jeg unner meg faktisk å prøve den andre vha. Candelas løsningsmetode:
[tex]n^5 - n[/tex] kan deles på 5
(1) [tex]n^5 - n = (n-1)(n)(n+1)(n^2+1)[/tex]
(2) Altså må [tex](n-1)(n)(n+1)(n^2+1)[/tex] kunne deles på 5
(3) Vi har en rekke på tre tall etter hverandre, pluss et høyere tall<--
Her burde du kanskje omfurmelert deg
(4) En av faktorene må nødvendigvis kunne deles på 5
q.e.d.
Grunnen til at en av faktorene må kunne deles på 5, er:
(1) Et naturlig tall (vi bruker titallssystemet) kan deles på 5 hvis, og kun hvis, det slutter på 0 eller 5.
(2) Alle tilfeller der den første delen av rekken på tre tall etter hverandre "støter borti" 0 eller 5, kan deles på 5.
(3) Fire muligheter gjenstår, rekken kan fordeles slik at de siste desimalene i hver faktor blir {1, 2, 3} eller {2, 3, 4} eller {6, 7, 8} eller {7, 8, 9}.
(4) Ved første tilfelle må n slutte på 2, da må [tex]n^2[/tex] slutte på 4, og [tex]n^2 + 1[/tex] slutte på 5.
(5) Ved andre tilfelle må n slutte på 3, [tex]n^2[/tex] slutter på 9 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutter på 0.
(6) I tredje tilfelle må n slutte på 7, [tex]n^2[/tex] slutte på 9 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutte på 0.
(7) I siste tilfelle må n slutte på 8, [tex]n^2[/tex] slutte på 4 og [tex]n^2 + 1[/tex] slutter på 5.
-
øientherese
- Fibonacci
- Innlegg: 4
- Registrert: 25/02-2005 10:44
- Sted: Byneset
så hvordan gjør jeg det ved induksjon?:)
Slik det står i oppgaven så er det jo kun den første som skal bevises med induksjon, den andre står det ingenting om. Men hvorfor ikke? 
Kanskje Candela skal få en vanskeligere oppgave; den generelle versjonen av oppgave 2
Du har [tex]a = n^m - n[/tex] der n og m er naturlige tall. Gitt ved m, hva er det høyeste tallet a kan deles på?
Er det mulig å finne ut det?
Kanskje Candela skal få en vanskeligere oppgave; den generelle versjonen av oppgave 2
Du har [tex]a = n^m - n[/tex] der n og m er naturlige tall. Gitt ved m, hva er det høyeste tallet a kan deles på?
Er det mulig å finne ut det?
Ok. Stod og tenkte litt på dette problemet i dusjen nå. Jeg tror ikke det er mulig å bestemme den største divisoren gitt ved m, men hvis m er primtall, så følger det av fermats lille teorem at a må være delelig med m. Man kan jo også f.eks ta eksempelet [tex]a=n^m - n = n(n^{m-1} - 1}[/tex]. Hvis vi nå lar n være 2 og m like 8 får vi:
[tex]2*(2^7 - 1)[/tex]. Her må [tex]2^7-1[/tex] være den største divisoren, fordi [tex]2^7-1[/tex] og 2 er begge distinkte primtallsfaktorer.
Men nå er jeg rimelig trøtt, og har dårlig tid, skal ta det senere.
[tex]2*(2^7 - 1)[/tex]. Her må [tex]2^7-1[/tex] være den største divisoren, fordi [tex]2^7-1[/tex] og 2 er begge distinkte primtallsfaktorer.
Men nå er jeg rimelig trøtt, og har dårlig tid, skal ta det senere.
Jeg har sett litt, og tenkt frem til en hypotese: (kanskje du allerede har tenkt på det)
Det virker som om [tex]n^m - n[/tex] alltid kan deles på m.
f.eks.
[tex]n^1 - n[/tex] blir alltid 0, det kan deles på 1
[tex]n^2 - n[/tex] blir alltid partall, og kan deles på 2
[tex]n^3 - n[/tex] kan deles på 6, og kan dermed deles på 3
[tex]n^5 - n[/tex] kan deles på 5
Dette er bare en observasjon, men kan det tenkes at du kan bevise det?
Det virker som om [tex]n^m - n[/tex] alltid kan deles på m.
f.eks.
[tex]n^1 - n[/tex] blir alltid 0, det kan deles på 1
[tex]n^2 - n[/tex] blir alltid partall, og kan deles på 2
[tex]n^3 - n[/tex] kan deles på 6, og kan dermed deles på 3
[tex]n^5 - n[/tex] kan deles på 5
Dette er bare en observasjon, men kan det tenkes at du kan bevise det?
Seff. Det er jo allment kjent som fermats lille teorem, og et bevis jeg har gjort selv på den finner du på:
http://realisten.com/artikkel.php?id=230
http://realisten.com/artikkel.php?id=230