Trenger litt hjelp...
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
[tex]K(x) = x^3 - 60x^2 + 1500x +500[/tex], [tex]x \in \[0, 40\][/tex]
a) [tex]K^,(x) = 1(3x^2) - 60(2x) + 1500[/tex]
[tex]K^,(x) = 3x^2 - 120x + 1500[/tex]
b) [tex]K^,(10) = 300 - 1200 + 1500 = 600[/tex]
[tex]K^,(30) = 2700 - 3600 + 1500 = 600[/tex]
[tex]K^,(x)[/tex] er en andregradsfunksjon med positiv andregradskoeffisient, altså vet vi at den har et bunnpunkt. (Dermed slipper vi å sjekke om punktet vi finner er topp- eller bunnpunkt)
Vi finner bunnpunktet ved å derivere igjen:
[tex]K^{,,}(x) = 3(2x) - 120[/tex]
[tex]K^{,,}(x) = 6x - 120[/tex]
Bunnpunktet er der [tex]K^{,,}(x) = 0[/tex], altså må
[tex]6x - 120 = 0[/tex]
[tex]6x = 120[/tex]
[tex]x = 20[/tex]
[tex]K^,(20) = 300[/tex]
Grensekostnaden er minst for x = 20, da er den lik 300.
c) Det koster minst å produsere en enhet når økningen i kostnadene er minst, dvs. når [tex]K^,(x)[/tex] er minst. Dette tilsvarer bunnpunktet til [tex]K^,(x)[/tex].
Bunnpunktet er der x = 20. Altså koster det minst å produsere en ekstra enhet når man øker produksjonen fra 20 til 21 enheter.¨'
d) [tex]A(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 60x + 1500 + \frac{500}{x}[/tex], [tex]x \in <0, 40\][/tex]
[tex]A(10) = 1050,00[/tex]
[tex]A(20) = 725,00[/tex]
[tex]A(30) = \frac{1850}{3} \approx 616,67[/tex]
[tex]A(40) = 712,50[/tex]
Skjønner ikke hvorfor man skal regne ut [tex]K^,(x)[/tex] på nytt, har en mistanke om at man kanskje skulle finne en ny [tex]K^,(x)[/tex] eller at jeg har misforstått noe annet.
[tex]K^,(10) = 600[/tex]
[tex]K^,(20) = 300[/tex]
[tex]K^,(30) = 600[/tex]
[tex]K^,(40) = 1500[/tex]
e) [tex]p = 840 - 4x[/tex] der p er prisen pr. enhet
Inntektene er pris/enhet * pris
[tex]R(x) = x(840 - 4x) = -4x^2 + 840x[/tex]
[tex]R^,(x) = -4(2x) = -8x + 840[/tex]
- oj, nå forsvant visst bildet med oppgaven. Får gjøre resten etter hukommelsen.
f) Finn ut hvor mange enheter bedriften bør selge for maksimal profitt.
Profitten er overskuddet, altså må vi finne overskudsfunksjonen:
[tex]O(x) = R(x) - K(x)[/tex]
[tex]O(x) = (-4x^2 + 840x) - (x^3 - 60x^2 + 1500x +500)[/tex]
[tex]O(x) = -x^3 + 54x^2 - 660x - 500[/tex]
Overskuddet er høyest ved toppunktet til denne funksjonen. Da må vi derivere:
[tex]O^,(x) = -1(3x^2) + 54(2x) - 660[/tex]
[tex]O^,(x) = -3x^2 + 108x - 660[/tex]
I toppunktet til funksjonen er [tex]O^,(x) = 0[/tex]
[tex]-3x^2 + 108x - 660 = 0[/tex]
Vi koser oss med ABC-formelen.
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{108^2 - 4(-3)(-660)}}{2(-3)}[/tex]
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{3744}}{-6}[/tex]
Vi faktoriserer 3744 for å se om vi kan trekke ut noe.
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot 13}}{-6}[/tex]
Det kan vi.
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{2^4} \cdot sqrt{3^2} \cdot sqrt{2 \cdot 13}}{-6}[/tex]
[tex]x = \frac{-108 \pm 12 sqrt{26}}{-6}[/tex]
[tex]x = 18 \pm -2sqrt{26}[/tex]
[tex]x = 18 \mp 2sqrt{26}[/tex]
Vi har funnet to punkter, og vi må se hvilket av dem som er toppunkt.
Vi vet at [tex]O^,(x)[/tex] er en andregradsfunksjon med negativ andregradskoeffisient, dvs, [tex]O^,(x)[/tex] har et toppunkt, og forestiller man seg formen på funksjonen, tilsier alminnelig logikk at det første punktet der funksjonen er lik null vil være negativ for mindre x-verdier og positiv for større x-verdier. Altså er det første nullpunktet i [tex]O^,(x)[/tex] et bunnpunkt i [tex]O(x)[/tex]. Tredjegradsfunksjonen må ha ett bunnpunkt og ett toppunkt, og da er det andre punktet toppunkt. Altså har [tex]O(x)[/tex] et toppunkt i [tex]x = 18 + 2sqrt{26}[/tex]. Da vil overskuddet være [tex]O(18 + 2sqrt{26}) \approx 1405,19[/tex].
---------------------------------
Puh, den var lang og slitsom den, og jeg har sikkert gjort en eller annen feil en plass slik at tallene har blitt mye verre enn opprinnelig ment. Men hvis du fikk akkurat det samme som meg, så skulle jo saken være biff.
a) [tex]K^,(x) = 1(3x^2) - 60(2x) + 1500[/tex]
[tex]K^,(x) = 3x^2 - 120x + 1500[/tex]
b) [tex]K^,(10) = 300 - 1200 + 1500 = 600[/tex]
[tex]K^,(30) = 2700 - 3600 + 1500 = 600[/tex]
[tex]K^,(x)[/tex] er en andregradsfunksjon med positiv andregradskoeffisient, altså vet vi at den har et bunnpunkt. (Dermed slipper vi å sjekke om punktet vi finner er topp- eller bunnpunkt)
Vi finner bunnpunktet ved å derivere igjen:
[tex]K^{,,}(x) = 3(2x) - 120[/tex]
[tex]K^{,,}(x) = 6x - 120[/tex]
Bunnpunktet er der [tex]K^{,,}(x) = 0[/tex], altså må
[tex]6x - 120 = 0[/tex]
[tex]6x = 120[/tex]
[tex]x = 20[/tex]
[tex]K^,(20) = 300[/tex]
Grensekostnaden er minst for x = 20, da er den lik 300.
c) Det koster minst å produsere en enhet når økningen i kostnadene er minst, dvs. når [tex]K^,(x)[/tex] er minst. Dette tilsvarer bunnpunktet til [tex]K^,(x)[/tex].
Bunnpunktet er der x = 20. Altså koster det minst å produsere en ekstra enhet når man øker produksjonen fra 20 til 21 enheter.¨'
d) [tex]A(x) = \frac{K(x)}{x} = x^2 - 60x + 1500 + \frac{500}{x}[/tex], [tex]x \in <0, 40\][/tex]
[tex]A(10) = 1050,00[/tex]
[tex]A(20) = 725,00[/tex]
[tex]A(30) = \frac{1850}{3} \approx 616,67[/tex]
[tex]A(40) = 712,50[/tex]
Skjønner ikke hvorfor man skal regne ut [tex]K^,(x)[/tex] på nytt, har en mistanke om at man kanskje skulle finne en ny [tex]K^,(x)[/tex] eller at jeg har misforstått noe annet.
[tex]K^,(10) = 600[/tex]
[tex]K^,(20) = 300[/tex]
[tex]K^,(30) = 600[/tex]
[tex]K^,(40) = 1500[/tex]
e) [tex]p = 840 - 4x[/tex] der p er prisen pr. enhet
Inntektene er pris/enhet * pris
[tex]R(x) = x(840 - 4x) = -4x^2 + 840x[/tex]
[tex]R^,(x) = -4(2x) = -8x + 840[/tex]
- oj, nå forsvant visst bildet med oppgaven. Får gjøre resten etter hukommelsen.
f) Finn ut hvor mange enheter bedriften bør selge for maksimal profitt.
Profitten er overskuddet, altså må vi finne overskudsfunksjonen:
[tex]O(x) = R(x) - K(x)[/tex]
[tex]O(x) = (-4x^2 + 840x) - (x^3 - 60x^2 + 1500x +500)[/tex]
[tex]O(x) = -x^3 + 54x^2 - 660x - 500[/tex]
Overskuddet er høyest ved toppunktet til denne funksjonen. Da må vi derivere:
[tex]O^,(x) = -1(3x^2) + 54(2x) - 660[/tex]
[tex]O^,(x) = -3x^2 + 108x - 660[/tex]
I toppunktet til funksjonen er [tex]O^,(x) = 0[/tex]
[tex]-3x^2 + 108x - 660 = 0[/tex]
Vi koser oss med ABC-formelen.
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{108^2 - 4(-3)(-660)}}{2(-3)}[/tex]
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{3744}}{-6}[/tex]
Vi faktoriserer 3744 for å se om vi kan trekke ut noe.
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{2^5 \cdot 3^2 \cdot 13}}{-6}[/tex]
Det kan vi.
[tex]x = \frac{-108 \pm sqrt{2^4} \cdot sqrt{3^2} \cdot sqrt{2 \cdot 13}}{-6}[/tex]
[tex]x = \frac{-108 \pm 12 sqrt{26}}{-6}[/tex]
[tex]x = 18 \pm -2sqrt{26}[/tex]
[tex]x = 18 \mp 2sqrt{26}[/tex]
Vi har funnet to punkter, og vi må se hvilket av dem som er toppunkt.
Vi vet at [tex]O^,(x)[/tex] er en andregradsfunksjon med negativ andregradskoeffisient, dvs, [tex]O^,(x)[/tex] har et toppunkt, og forestiller man seg formen på funksjonen, tilsier alminnelig logikk at det første punktet der funksjonen er lik null vil være negativ for mindre x-verdier og positiv for større x-verdier. Altså er det første nullpunktet i [tex]O^,(x)[/tex] et bunnpunkt i [tex]O(x)[/tex]. Tredjegradsfunksjonen må ha ett bunnpunkt og ett toppunkt, og da er det andre punktet toppunkt. Altså har [tex]O(x)[/tex] et toppunkt i [tex]x = 18 + 2sqrt{26}[/tex]. Da vil overskuddet være [tex]O(18 + 2sqrt{26}) \approx 1405,19[/tex].
---------------------------------
Puh, den var lang og slitsom den, og jeg har sikkert gjort en eller annen feil en plass slik at tallene har blitt mye verre enn opprinnelig ment. Men hvis du fikk akkurat det samme som meg, så skulle jo saken være biff.