Et integral for de interesserte, hva er løsningen?
[tex]I\:=\:\int {dX\over X^3+1}[/tex]
Integral
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Antar det kan løses ved å observere at [tex]1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)[/tex] for deretter å delbrøkoppspalte, men det nok enklere metoder siden du spør.
Litt stilig: [tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi[/tex]
Litt stilig: [tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi[/tex]
Mulig den kan løses på enklere måte, tviler litt på d (Wolfram ol . er juks).mrcreosote skrev:Antar det kan løses ved å observere at [tex]1+x^3=(1+x)(1-x+x^2)[/tex] for deretter å delbrøkoppspalte, men det nok enklere metoder siden du spør.
Litt stilig: [tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^3}=\frac{2\sqrt3}{9}\pi[/tex]
Var faktisk faktoriseringa med delbrøksoppspalting, som du gjorde, jeg tenkte på.
Men blir forøvrig en formidabel jobb å bestemme dette ubestemte integralet.
Jeg brukte 4 sider og mye delbrøksoppspalting. Oppgava ble gitt på eksamen (innføringskurs i matematikk, MA-100).
For de som har lyst til å prøve seg:
[tex]\int {dx\over 1+x^3}\;=\;[/tex][tex]{1\over 3}ln|x+1|\:-\:{1\over 6}ln|x^2-x+1|\:+\:{1\over sqrt3}arctan({2x-1\over sqrt3})\:+\:C[/tex]
Artig med det siste bestemte integralet, brukte du Maple eller lignende?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Fritt etter FZ: Imaginary numbers exist only in the imagination of The Imaginer...litt kompleks analyse er tingen.
Litt generellere:
[tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]
Litt generellere:
[tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]
hmmm-se d ja. Lite kompleks analyse for en stakkar med bare 22 vekttall matematikk. Men j burde jo skjønt at denn kan løses vha kompleks analysemrcreosote skrev:Fritt etter FZ: Imaginary numbers exist only in the imagination of The Imaginer...litt kompleks analyse er tingen.
Litt generellere:
[tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Stemmer det, Cauchy. Ganske mange stilige integraler man kan finne ved hjelp av residueteoremet, til dømes har vi [tex]\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos x}{1+x^2}=\frac{\pi}{e}[/tex]. e som i Eulers tall, ja. Stilig!
Hvor kan jeg finne et bevis for dette?mrcreosote skrev:Fritt etter FZ: Imaginary numbers exist only in the imagination of The Imaginer...litt kompleks analyse er tingen.
Litt generellere:
[tex]\int_0^\infty\frac{dx}{1+x^n}=\frac{\pi}{n\sin\frac{\pi}{n}}[/tex]
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Hvilket nivå er du på? Antar utregninger av denne typen inngår i de fleste introkurs til kompleks analyse. Som Cauchy sier er det residueteoremet man bruker, du finner nok litt om det på wikipedia, mathworld eller nærmeste bibliotek.
Går 3MX, men har nylig tatt en eksamen i kompleks analyse på den lokale høyskola. Kan i utgangspunktet residueteoremet, men klarer ikke å se hvordan dette integralet skal løses.mrcreosote skrev:Hvilket nivå er du på? Antar utregninger av denne typen inngår i de fleste introkurs til kompleks analyse. Som Cauchy sier er det residueteoremet man bruker, du finner nok litt om det på wikipedia, mathworld eller nærmeste bibliotek.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det er vel ikke akkurat noe spesielt teorem det her, så du vil neppe finne et bevis for akkurat dette i noen lærebok med mindre du har flaks.
Såvidt jeg husker er greia å integrere rundt en pizzastykkekontur: Tenk deg en sirkel rundt origo som er delt i n biter. Integrer rundt den biten som ligger like før klokka 3 og la radiusen i sirkelen være større enn 1 for så å vokse. Da lukker du inn nøyaktig 1 nullpunkt, e^(i*pi/n) og kan anvende residueteoremet. Er du med?
Såvidt jeg husker er greia å integrere rundt en pizzastykkekontur: Tenk deg en sirkel rundt origo som er delt i n biter. Integrer rundt den biten som ligger like før klokka 3 og la radiusen i sirkelen være større enn 1 for så å vokse. Da lukker du inn nøyaktig 1 nullpunkt, e^(i*pi/n) og kan anvende residueteoremet. Er du med?