Integrasjon med ln(x) - min akilleshæl

[Markonan]

Hallo igjen!

[tex]\int ln(x^2+1)dx[/tex]

Dette ser utvilsomt ut som en integrasjon ved substitusjonsoppgave.

[tex]u = x^2 + 1[/tex]
[tex]du = 2xdx[/tex]
[tex]dx = \frac{1}{2x}du[/tex]
Nei, dette fungerte ikke, da blir jeg jo sittende med u og x i integralet.

Prøver å løse med hensyn på x i stedet:
[tex]u = x^2 + 1[/tex]
[tex]x^2 = u - 1[/tex]
[tex]x = \sqrt{u - 1}[/tex]
[tex]dx = \frac{1}{2}(u-1)^{-\frac{1}{2}}du[/tex]
[tex]dx = \frac{1}{2(\sqrt{u-1})}du[/tex]
Hmmm, javel, beregningene mine skal vel være korrekte?

Setter dette inn i integralet:
[tex]\int ln(x^2+1)dx\qquad =\qquad \frac{1}{2}\int ln(u) \cdot \frac{1}{\sqrt{u-1}}du[/tex]

Ser dette riktig ut, eller er jeg på vei ut i granskauen?

[mrcreosote]

[tex]\int ln(x^2+1)dx=\int 1\cdot ln(x^2+1)dx[/tex] og så delvis.

[.ing]

Noen som kan legge ut utregningen også?

Vil gjerne se svaret og om jeg gjør det riktig

Takk!

[al-Khwarizmi]

[symbol:integral] 1lnudu = (1/2)u^2 lnu-(1/2) [symbol:integral] u^2/u du
=(1/2)(x^2+1)^2 *ln(x^2+1)-(1/4)*(x^2+1)^2 +C

[Markonan]

[tex]\int ln(x^2+1)dx \qquad = \qquad \int1\cdot (x^2+1)dx[/tex]

Delvis integrasjon.
[tex]u = ln(x^2+1)\qquad ->\qquad u^{,} = \frac{1}{x^2+1}\cdot2x[/tex]
[tex]v^{,} = 1\qquad ->\qquad v = x[/tex]

[tex][tex][/tex]x ln(x^2+1) - \int \frac{2x}{x^2+1}xdx\qquad\qquad[*] [/tex]

Ganger inn x'en og får:
[tex]\int \frac{2x^2}{x^2+1}dx [/tex]

Deretter tar vi poynomdivisjon!
[tex]\frac{2x^2}{x^2+1} = 2-\frac{2}{x^2+1}[/tex]

[tex]\int 2 -\frac{2}{x^2+1}dx = \qquad 2\int 1 - \frac{1}{x^2+1}dx \qquad = \qquad2[x - arctan(x)] + C [/tex]

Setter dette resultatet inn i [*]

[tex]xln(x^2+1)-2x+2arctan(x)+C[/tex]

[Markonan]

Og hvis du synes den var ille, prøv deg på:

[tex]\int \frac{2x-1}{x^2-2x+2}dx[/tex]

[Janhaa]

Noen som kan legge ut utregningen også?
Vil gjerne se svaret og om jeg gjør det riktig
Takk!

[tex]I\;=\;\int 1\cdot ln(x^2+1)dx\;=\;[/tex][tex]x\cdot ln(x^2+1)-2\int {x^2dx\over x^2+1}[/tex]

bruk polynomdivisjon på siste integral:

[tex]{x^2\over x^2+1}\;=\;[/tex][tex]{1\:-\:{1\over x^2+1}}[/tex]

[tex]I\;=\;\int 1\cdot ln(x^2+1)dx\;=\;[/tex][tex]x\cdot ln(x^2+1)-2\int (1\:-\:{1\over x^2+1})dx[/tex]

[tex]I\;=\;\int 1\cdot ln(x^2+1)dx\;=\;[/tex][tex]x\cdot ln(x^2+1)-2 {x\:+\:2arctan( x)\:+\:C[/tex]

[al-Khwarizmi]

[symbol:integral] ((2x-2)-3)/(x^2-2x+2) dx = [symbol:integral] (2x-2)/(x^2-2x+2) dx -3 [symbol:integral] dx/(1+(x-1)^2)

= ln|x^2-2x+2| -3arctan(x-1) +C

[al-Khwarizmi]

Hva sier du til det Markonan??

[.ing]

Takk skal dere ha alle sammen

Dere er alle veldig flinke! Håper jeg nærmer meg deres nivå om en del år

[Janhaa]

Og hvis du synes den var ille, prøv deg på:

[tex]I\:=\:\int \frac{2x-1}{x^2-2x+2}dx[/tex]

[tex]I\:=\:\int {{2x-2+1}\over {(x-1)^2+1}}[/tex]

u = x[sup]2[/sup] - 2x + 2
du = (2x - 2)dx

[tex]I\:=\:\int {du\over u}\:+\:\int {dx\over (x-1)^2+1}[/tex]

[tex]I\:=\:ln(u)\:+\:\int {du\over u^2+1}[/tex]

[tex]I\:=\:ln|x^2-2x+2|\:+\:arctan(x-1)\:+\:C[/tex]

[al-Khwarizmi]

Æsj.. jeg slurvet..

[Markonan]

Fasiten er:
[tex]ln|x^2-2x+2| \; + \; 3arctan(x-1)\;+\;C[/tex]

Kan skrive inn hele utregningen litt senere hvis noen er interessert. Har eksamen i morgen, og må stå på litt nå i innspurten!

[al-Khwarizmi]

Eksamen selv imorgen.. lykketil

[Janhaa]

Eksamen selv imorgen.. lykketil

hmmm-begge var litt ulike fra fasiten ??

forresten-lykke til dere to