Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Her slår tanken om et induktivt bevis over flere variable meg.. Men, tror nok ikke jeg er godt nok kjent med gammafunksjonen til at jeg skulle klare det. Kan jo hende man må innom noen ikke-så-fullt-så-pene integraler her;)
Hvis du setter inn grenser i integralet og kombinerer formel (1) og (2) får du følgende formel (Det første leddet etter = blir 0):
[tex]I_n = \int\sin^nx\cos^mxdx\\(3) I_n = \frac{n-1}{n+m}I_{n-2}\\
[/tex]
(3) kan brukes på m og n til å gi følgende kombinert formel:
[tex]I_{n,m} = \int\sin^nx\cos^mxdx\\(4)I_{n,m} = \frac{(n-1)(m-1)}{(n+m)(n+m-2)}I_{n-2,m-2}[/tex]
Så er det å huske at gammafunksjonen er fakultet for heltalls n.
Benytte (4) og (3) helt til man står igjen med en enslig sin eller cos eller sincos.
Sett alt sammen og sjekk de mulige tilfellen at n er odde og n er jevn, så trur eg at man kommer i mål
Jeg kan jo forsette litt til:
Antar at n>m. (Likt for m>n og enda enklere for n=m),
(4) og m odde gir vha induksjon at:
[tex]I_{n,m} = \frac{(n-1)(n-3)....(n-(m-1))(m-1)(m-3)...(m-(m-1))}{(n+m)(n+m-2)...(n+m-2(m+1)}I_{n-(m-1),m-(m-1)}\\ I_{n,m}=\frac{\frac{\Gamma(\frac{n-1}2)}{\Gamma(\frac{n-(m+1)}2)}\Gamma(\frac{m-1}2)}{\frac{\Gamma(\frac{m+n}2)}{\Gamma(\frac{m+n-2(m-1)}2)}}I_{n-m+1,1}[/tex]
Det at vi deler på 2 inne i gammafunksjonene både oppe og nede, gjør at de kan forkortes mot hverandre.
(3) Antar så at n er odde. Dette gir så videre at: