Hvordan funker dette med fakultet og grenser? Fasiten gjør et eller annet i utregningen som jeg ikke får med meg.
[tex]lim _{n \rightarrow \infty }\frac{(n!)^2}{(2n)!}[/tex]?
fakultet og grenser
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Solar Plexsus
- Over-Guru
- Innlegg: 1685
- Registrert: 03/10-2005 12:09
Nå er
[tex]0 \;<\; \frac{n!^2}{(2n)!} \;=\; \frac{n! \cdot (1 \cdot 2 \cdots n)}{n! \cdot (n+1)(n+2) \cdots (2n)} \;=\; \frac{1}{n+1} \, \cdot \, \frac{2}{n+2} \, \cdots \, \frac{n}{n + n} \; \leq \; \underbrace{\frac{1}{2} \, \cdot \, \frac{1}{2} \, \cdots \, \frac{1}{2}}_{n \: \mbox{ganger}} \;=\; \frac{1}{2^n}.[/tex]
Herav følger at
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{n!^2}{(2n)!} \:=\: 0.[/tex]
[tex]0 \;<\; \frac{n!^2}{(2n)!} \;=\; \frac{n! \cdot (1 \cdot 2 \cdots n)}{n! \cdot (n+1)(n+2) \cdots (2n)} \;=\; \frac{1}{n+1} \, \cdot \, \frac{2}{n+2} \, \cdots \, \frac{n}{n + n} \; \leq \; \underbrace{\frac{1}{2} \, \cdot \, \frac{1}{2} \, \cdots \, \frac{1}{2}}_{n \: \mbox{ganger}} \;=\; \frac{1}{2^n}.[/tex]
Herav følger at
[tex]\lim_{n \rightarrow \infty} \: \frac{n!^2}{(2n)!} \:=\: 0.[/tex]