Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.
Greia er å gange opp med en integrerende faktor. Jeg vedder på at det står om det i læreboka di. Les der og se om du er enig at den her blir e^2x. Da tar ligninga formen [tex]e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y = 2xe^{2x}[/tex]. Med litt rutine kan man nå gjenkjenne høyresida som [tex]\frac{d}{dx}(ye^{2x})[/tex] og omforme til [tex]y(x)e^{2x}=\int 2xe^{2x} dx[/tex]. Denne klarer du å løse. Spør igjen om du ikke henger med, og forklar gjerne også hvor det lugger.
der [tex]y_h[/tex] er løsningen av den homogen diff.likningen
[tex](1) \;\;\; y^{\prime} \:+\: 2y \;=\; 0[/tex]
og [tex]y_p[/tex] er en partikulær løsning av (1). Her finner vi at [tex]y_h \:=\: ce^{-2x},[/tex] der c er en vilkårlig konstant. Videre har (1) en løsning på formen [tex]y \:=\: ax \,+\, b[/tex], som innsatt i (1) gir
[tex]a \:+\: 2(ax \,+\, b) \;=\; 2x,[/tex]
dvs.
[tex]2(a \,-\, 1)x \:+\: a \:+\: 2b \;=\; 0.[/tex]
Herav følger at a = 1 og b = -1/2. Altså er løsningen av (1)
[tex]y \;=\; ce^{-2x} \:+\: x \:-\: \frac{1}{2}.[/tex]
Hei igjen og takk for hjelpen! Har dukket opp en ny oppgave jeg trenger litt hjelp til:
Et hus er utstyrt med automatisk styrte varmeovner. Om dagen er de termostatstyrte, slik at innetemperaturen holdes konstant på 21C. Ovnene slås automatisk av klokken 22.00 om kvelden. En natt var utetemperaturen konstant -15C og innetemperaturen 19C da beboerne gikk og la seg klokken 23.00. Hva var innetemperaturen da ovnene slo seg på igjen klokken 07.00 neste morgen hvis Newtons avkjølingslov gjelder?
T ' (t )=-k(T(t )-A) er vel Newtons avkjølingslov.. Hvordan går jeg frem på denne?
Newtons avkjølingslov for et objekt ved temperatur T, i et rom med konstant temperatur T_0 som funksjon av tid t er:
[tex] \frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} = k(T-T_0) [/tex]
Denne differensiallikningen er separabel, og kan løses slik:
[tex] \frac{{\rm d}T}{{\rm d}t} \qquad = \qquad k(T-T_0)\\ \int \frac{1}{T-T_0} \ {\rm d}T \qquad = \qquad \int k \ {\rm d}t \\ \ln|T-T_0| \qquad = \qquad kx + c_0 \\ T(t) \qquad = \qquad c_1e^{kx}+T_0 [/tex]
(Her har jeg latt [tex] c_1 = e^{c_0}[/tex])
Temperaturen kl 22.00 var 21 grader, og temperaturen kl. 23.00 var 19 grader. Hvis vi lar t = 0 svare til kl 22.00, har vi:
T(0) = 21, T(1) = 19
