Kontinuerlig

[mikael1987]

Hei..
Sliter med denne her:

[tex]f(x,y)=\frac{2xy^3}{x^2+y^4}[/tex] for [tex](x,y)\not= (0,0), f(0,0)=0[/tex]

Vis at funksjonen f er kontinuerlig i origo..
Noen som har noen tiips??
Takk på forhånd:)

[fish]

Innfør polare koordinater. Da får du noe med [tex]r^4[/tex] i telleren, mens du får ett ledd med [tex]r^2[/tex] og ett med [tex]r^4[/tex] i nevneren. Divider så med [tex]r^4[/tex] oppe og nede og la [tex]r[/tex] gå mot null. Da skal du kunne se at grensen blir null.

[mikael1987]

[tex]lim_{r\to0}\frac{2r^4cos\theta sin^3\theta}{r^2cos^2\theta +r^4sin^4\theta}[/tex][tex]= lim_{r\to0}\frac{2cos\theta sin^3\theta}{\frac{1}{r^2}cos^2\theta +sin^4\theta[/tex][tex]=\frac{2cos\theta sin^3\theta}{sin^4\theta[/tex]

Eksisterer ikke??

[fish]

Tenk over den siste overgangen. Den ble feil.

[mikael1987]

Åja, jeg kan jo ikke dele 1 på 0..
Vil ikke det gå mot uendelig da??
Slik at jeg får teller delt på uendelig, er lik 0..

[fish]

Det er et riktig resonnement. Det eneste du må sjekke spesielt er tilfellet x=0 ([tex]\cos\theta =0[/tex]). Det opprinnelige uttrykket viser da verdien null, så det er også ok.

[mikael1987]

Takk skal du ha fish!:)
Men nå har jeg
[tex]g(x,y)=\frac{2xy^2}{x^2+y^4}[/tex] for [tex](x,y)\not=(0,0),f(0,0)=0[/tex]

Men nå ska jeg vise at g ikke er kontinuerlig i origo.
Skal jeg bare følge prosedyren med å innføre polarkoordinater, også dele på den r`en med høyest potens??

[fish]

Her kan du kanskje nøye deg med å konstatere at det går galt hvis du går mot origo langs linja [tex]y=x[/tex].
Du får da grensen

[tex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2x^3}{x^2+x^4}[/tex]

som jo ikke eksisterer.