Jeg trenger litt hjelp til å forstå dette med inverse funksjoner, hang absolutt ikke med når foreleseren gikk gjennom dette. Kan noen med enkle ord forklare samt gi noen greie eksempler? prøvde å lete på nettet, me fant ikke stort.
mvh
Al
INVERSE FUNKSJONER?
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
La oss si du har en funksjon av y:
y=2x+3
Du vil finne den inverse funksjonen (som noen ganger noteres som [tex]f^{-1}(x)[/tex])
Den inverse funksjonen er en funksjon hvor du kan sette inn verdier av den opprinnelge funksjonen og så få x-verdien av dette.
Eksempel:
la x = 4
y=2*4+3 = 11
La oss si at y=15, og at du ikke vet hva x er. Du må finne den inverse funlsjonen av y:
y=2x+3
y-3=2x
(y-3)/2=x
Du vet at y=15 og setter inn:
(15-3)/2 = 12/2=6
Altså, x=6
Det kan du teste ved å prøve å sette x inn i den opprinnelige funksjonen og se om du får 15.
Annengradsformelen er også et eksempel på en invers funksjon av en annengradslikning.
y=2x+3
Du vil finne den inverse funksjonen (som noen ganger noteres som [tex]f^{-1}(x)[/tex])
Den inverse funksjonen er en funksjon hvor du kan sette inn verdier av den opprinnelge funksjonen og så få x-verdien av dette.
Eksempel:
la x = 4
y=2*4+3 = 11
La oss si at y=15, og at du ikke vet hva x er. Du må finne den inverse funlsjonen av y:
y=2x+3
y-3=2x
(y-3)/2=x
Du vet at y=15 og setter inn:
(15-3)/2 = 12/2=6
Altså, x=6
Det kan du teste ved å prøve å sette x inn i den opprinnelige funksjonen og se om du får 15.
Annengradsformelen er også et eksempel på en invers funksjon av en annengradslikning.
En likning ikke er det samme som en funksjon. (ABC-formelen er dermed ikke en invers funksjon.)
En funksjon tar et element i ett sett A og sender det til et distinkt objekt i et annet sett B. Dersom funksjonen er bijektiv kan du finne en invers funksjon som tar et hvert element i B og sender det til det korresponderende element i A. Altså:
[tex]a \in A, \ b \in B[/tex]
dersom [tex]f : A \rightarrow B[/tex] er bijektiv eksisterer en funksjon [tex]f ^{-1} : B \rightarrow A[/tex] slik at dersom [tex]f(a) = b[/tex] vil [tex]f^{-1}(b) = a[/tex]
[tex]f(x) = 3x[/tex] er et eksempel på en bijektiv funksjon med en invers [tex]f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x[/tex]
[tex]f(x) = x^2[/tex] derimot er verken injektiv eller surjektiv, og har ingen invers. (Hvis du ikke ser hvorfor, tenk på hva [tex]f^{-1}(4)[/tex] måtte være. Du vet og at [tex]f(x) = \pm \sqrt x[/tex] ikke er en funksjon, siden den sender ett element i B til flere i A.)
En funksjon tar et element i ett sett A og sender det til et distinkt objekt i et annet sett B. Dersom funksjonen er bijektiv kan du finne en invers funksjon som tar et hvert element i B og sender det til det korresponderende element i A. Altså:
[tex]a \in A, \ b \in B[/tex]
dersom [tex]f : A \rightarrow B[/tex] er bijektiv eksisterer en funksjon [tex]f ^{-1} : B \rightarrow A[/tex] slik at dersom [tex]f(a) = b[/tex] vil [tex]f^{-1}(b) = a[/tex]
[tex]f(x) = 3x[/tex] er et eksempel på en bijektiv funksjon med en invers [tex]f^{-1}(x) = \frac{1}{3}x[/tex]
[tex]f(x) = x^2[/tex] derimot er verken injektiv eller surjektiv, og har ingen invers. (Hvis du ikke ser hvorfor, tenk på hva [tex]f^{-1}(4)[/tex] måtte være. Du vet og at [tex]f(x) = \pm \sqrt x[/tex] ikke er en funksjon, siden den sender ett element i B til flere i A.)
Vær forsiktig nå. Tenk over hvilke sett du tar for deg:
Hvis [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] så har ikke [tex]f(x) = x^2 [/tex] en invers funksjon. Dette er fordi flere elementer i det første settet er avbildet i samme element i det andre settet. Tenk over eksempelet i posten min over.
Derimot, dersom [tex]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/tex] så har [tex]f(x) = x^2[/tex] den inverse funksjonen [tex]f^{-1}(x) = \sqrt{x}[/tex] (siden f da er bijektiv.) Dette betyr riktignok at [tex]f(-2)[/tex] ikke er definert.
Sjekk ellers ut begrepene injeksjon, surjeksjon og bijeksjon dersom du ikke er kjent med dem.
Hvis [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] så har ikke [tex]f(x) = x^2 [/tex] en invers funksjon. Dette er fordi flere elementer i det første settet er avbildet i samme element i det andre settet. Tenk over eksempelet i posten min over.
Derimot, dersom [tex]f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+[/tex] så har [tex]f(x) = x^2[/tex] den inverse funksjonen [tex]f^{-1}(x) = \sqrt{x}[/tex] (siden f da er bijektiv.) Dette betyr riktignok at [tex]f(-2)[/tex] ikke er definert.
Sjekk ellers ut begrepene injeksjon, surjeksjon og bijeksjon dersom du ikke er kjent med dem.
-
mrcreosote
- Guru
- Innlegg: 1995
- Registrert: 10/10-2006 20:58
Det skrives godt av dao, men jeg vil bare kommentere at om[tex]f:\[0,\infty\) \rightarrow \[0,\infty\),\ \ f(x)=x^2[/tex] har vi den inverse funksjonen [tex]f^{-1}(x)=\sqrt x[/tex]. Det viktig er altså om funksjonen er bijektiv på området den er definert. Det er [tex]x^2[/tex] på intervaller som ikke inneholder både a og -a for noen a>0.
Edit: Seint ute.
Edit: Seint ute.