Siste rest av induksjon

[apollon]

Har høvlet gjennom en matematisk induksjon, og sitter igjen med dette på venstre side (alt har gått bra til nå, satt meg selvfølgelig fast på det som burde vært det enkleste):

[tex](\frac{k^2+k}{2})^2+(k+1)^3[/tex]

Første trikset er vel å finne fellesnevner og samle alt på en brøkstrek:

[tex]\frac{(k^2+k)^2 + 4(k+1)^3}{4}[/tex]

Er mulig jeg kløner når jeg finner fellesnevner, men er hvertfall her jeg kjører meg fast. Har prøvd flere varianter, men ender opp i et evig rot.

Håper noen kan hjelpe meg med denne

[sEirik]

[tex](k^2+k)^2 = k^4 + 2k^3 + k^2[/tex]

[tex]4(k+1)^3 = 4(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) = 4k^3 + 12k^2 + 12k + 4[/tex]

[tex](k^2+k)^2 + 4(k+1)^3 = k^4 + 6k^3 + 13k^2 + 12k + 4[/tex]

Så gjelder det å faktorisere dette. Vi ser at uttrykket er lik 0 for k = -2 og k = -1. Derfor kan vi dele på [tex](k+1)(k+2) = k^2 + 3k + 2[/tex], ved polynomdivisjon. Da sitter du igjen med kvotienten [tex]k^2 + 3k + 2[/tex]. Altså får du

[tex]\frac{\left [ (k+1)(k+2) \right ]^2}{4}[/tex].

[mrcreosote]

Du slipper unna litt regning og faktoriseringa av fjerdegradsuttrykk om du faktoriserer første ledd med en gang:

[tex]\frac{(k^2+k)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}4 = \frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}4 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}4[/tex]

[sEirik]

Jo da, men polynomdivisjon er unektelig ganske gøy. I hvert fall de første 100 gangene.

[apollon]

Du slipper unna litt regning og faktoriseringa av fjerdegradsuttrykk om du faktoriserer første ledd med en gang:

[tex]\frac{(k^2+k)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}4 = \frac{(k+1)^2(k^2+4(k+1))}4 = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}4[/tex]

Takk for raske svar til dere begge Biter meg litt fast i den siste løsningen, siden jeg slipper faktorisering av fjerdegradsuttrykk.

Likevel så sliter jeg litt med å se hvordan du gikk fra del 2 i utregningen til del 3. Skjønner ikke helt hvor det blir av det som er opphøyd i 3. Hadde vært veldig fint om du kunne tatt den overgangen litt mer grundig?

[mrcreosote]

Javisst.

[tex]k^2(k+1)^2+4(k+1)^3 = k^2(k+1)^2+4(k+1)(k+1)^2 = (k+1)^2\[k^2+4(k+1)\] = (k+1)^2(k^2+4k+4) = (k+1)^2(k+2)^2[/tex]

Vi faktoriserer ut (k+1)^2 som vi finner i begge ledd i første/andre uttrykk.

[apollon]

Der satt den vettu, tusen takk for hjelpen!