Tredjegradsligning med 3 ukjente

[LiLeAb]

sliter litt med følgende oppgave:

Drøft funksjonen g(x)=x^3+cx+d
Parametrene c og d oppfyller c<0 og d<0

Har tegna fine skisser av funksjonen, med g, g' og g'' i GeoGebra. Har funnet ekstremalpunkt og nullpunkter

Problemet er å drøfte funksjonen videre og løse den matematisk?

skal også begrunne at lim(x-> ∞ )=+ ∞
Mener at dette kan jeg lese av i GeoGebra, og begrunne med det som vises der.
Hva med asymptoter, hvordan regner man det ut i en tredjegadsfunksjon, og fins de her?

[Mayhassen]

Dette er ting jeg også lurer på, jeg har egentlig aldri lært så mye om funksjonsdrøfting, men jeg løser litt her for å se om jeg har rett. Har ikke dette GeoGebra heller, hvordan tegner man egentlig funksjoner med ukjente konstanter da?

[tex]g(x)=x^3+cx+d[/tex]
[tex]g^\prime(x)\(x)=3x^2+c[/tex]
[tex]g^{\prime\prime}(x)=6x[/tex]
Hvis jeg setter [tex]g^\prime(x)=0 \Longleftrightarrow x=\sqrt{\frac{-c}{3}}[/tex] så viser vel det at g(x) er voksende for alle [tex]x\geq \sqrt{\frac{-c}{3}}[/tex] og det skal vel gå bra siden c er definert som negativ. Er ikke dette også en begrunnelse for at grensen mot uendelig blir uendelig positiv da?
For å undersøke om at det virkelig er et minimum tok jeg andrederiverttesten og kom frem til at så lenge c er negativ får man et positivt tall som man ganger med 6 og da får man også et svar større enn null noe som betyr et minimum.

Har jeg riktig tankegang her?

[LiLeAb]

GeoGebra kan lastes gratis ned fra nettet. Det er et kjempeflott program, når man bare lærer seg å bruke det riktig.
Har satt inn verdier av c og d som er negative, men nærmer seg null.

-ser at når jeg velger -0,1 som verdi for parametrene (c og d) og legger inn g'(x) og g''(x), forsvinner alle tre funksjonene ut i [symbol:uendelig] 1.kvadrant, og tolker dette som lim(x->0)=+ [symbol:uendelig] .
Har ikke sett andrederiverttesten før, men det er sikkert rett
(hva viser testen oss?)

Det jeg ser av grafen til f'(x) og ved utregning er at f'(o)=o når c=0

Hvorfor regnet du ut f'(x)=0, det skjønte jeg ikke (har ikke fått helt grepet på dette ennå....)
Takk for hjelpa, og håper du orker å svare mag igjen...

[Mayhassen]

Hvis man setter g'(x)=0 finner man jo nullpunkter til den deriverte, det vil si at stigningstallet til g(x)=0, altså topp eller bunnpunkt. Jeg fant da enten et (lokalt) minimumspunkt eller (lokalt) maksimumspunkt på g(x).

Du kan jo sette opp fortegnslinjer for å finne ut om grafen kuver opp eller ned (smiler eller sur) og dermed finne ut om nullpunktet til den deriverte virkelig er et min eller maks. En annen metode en denne andrederiverte. Hvis man setter inn nullpunktet til den deriverte. Da sier denne regelen at hvis man fåret positivt svar er det et minimum og negativt gir da et maksimumspunkt.

[LiLeAb]

oki

Litt klokere der...

Men når g'(x)=3x^2+c og g''(x)=6x har jeg vel lite mulighet til å sette disse inn i et fortegnsskjema??

[Mayhassen]

hehe, jo, er vel sant det ja

[daofeishi]

Ta først for deg funksjonen [tex]g(x)=x^3+cx[/tex]
Da er f(x) en vertikal translasjon (vertikal forflytning) av g(x)

Det blir kanskje litt enklere å se hva som skjer dersom du skriver c = -k (for positive k) Da kan vi skrive
[tex]g(x)=x^3-kx = x(x-\sqrt k)(x+\sqrt k) = x(x-\sqrt{-c})(x+\sqrt{-c})[/tex]

Dermed ser du at g(x) har tre reelle nullpunkter for [tex]x = 0[/tex] og [tex]x = \pm \sqrt{-c}[/tex]

Deretter legger du merke til at grenseverdien til funksjonen når x går mot negativ uendelig er negativ uendelig, og grenseverdien når x går mot positiv uendelig er positiv uendelig.

Så er det bare å translere fuksjonen, slik at nullpunktene for g(x) ligger på linjen y = d for f(x).

Funksjonen ser altså slik ut:



Og ved den deriverte finner du enkelt koordinater for ekstremalpunktene. Hva er det ellers du vil fram til?

[LiLeAb]

TUSEN TAKK!!

Her gikk det sannelig opp et lys!

Går det ant å finne asymptoter for en tredjegradsfunksjon som denne?
Enn de deriverte til funksjonen?

[daofeishi]

Polynomer har ikke asymptoter.

Du ser at førstederiverte er [tex]f^\prime (x) = 3x^2+c[/tex]
Du vil se at førstederiverte er 0 for [tex]x = \pm \frac 1 6 \sqrt{-12 c}[/tex], og dette blir da koordinatene til ekstremalpunktene.

Fra andrederiverte ser du at funksjonen vender den hule siden ned når x < 0, og den hule siden opp når x > 0

[LiLeAb]

Den fant jeg også ved hjelp av abc-formelen, men litt usikker på om jeg hadde gjort rett....

Ellers sitter jeg å leter etter hva betegnelsen på speilinga som grafen til funksjonen g(x) heter... (om den vertikale "linja" som vendepunktet til g(x), bunnpunktet til g'(x) og nullpunktet til g''(x) går gjennom)
-kanskje jeg må skaffe meg noen flere matematikk bøker...

[daofeishi]

Jeg ville sagt at funksjonen er symmetrisk om punktet (0, d)