volum og masse av rotasjonslegeme

[Brumble]

Heisann.
Har en oppgave som lyder som følger:
Et flatestykke F ligger i første kvadrant og er avgrenset av koordinataksene og grafene til
f(x)=x[sup]2[/sup]+1 og g(x)=2x[sup]2[/sup]-8
Finn volumet av omdreiningslegemet når F dreies om y aksen.
Dette ser da ut som et glass.
Har ikke det konkrete svaret men det er oppgitt at vekten av glasset skal bli ca 192 gram dersom tettheten av glass er på 2.5cm[sup]3[/sup]
Hadde satt stor pris på litt assistanse her

Mvh
Brumble

[Janhaa]

Tetthet oppgitt har feil benevning, men volumet blir vel:

[tex]V_y=2\pi \int_0^3 xy \,{\rm dx}=2\pi \int_0^3 x(-x^2+9)\,{\rm dx}[/tex]

[Olorin]

Btw Janhaa,
Hva er logikken bak det du skriver inn for y? ser at du har gjort en f(x)=g(x) og flyttet over g(x). Forklar!

Er dette sylinderskallmetoden?

Volum av omdreiningslegeme framkommet ved at
flatestykket avgrenset av grafen til f, x -aksen og de rette
linjene x = a og x = b, er dreiet 360 ◦ om y-aksen:

[tex]V=\int_a^b 2\pi x\cdot f(x) \rm{d}x[/tex]

[fish]

Det er sylinderskallmetoden som janhaa benytter, men en figur viser vel at vi må dele opp integralet. Flaten ligger jo i første kvadrant!

[tex]V=2\pi\int_0^2 x(x^2+1)\;dx+2\pi\int_2^3 x(x^2+1-(2x^2-8))\;dx=\frac{49\pi}{2}[/tex]

Hvis dette svaret multipliseres med tettheten, får du massen av glasset.

[Olorin]

Oppgaven lyder:
Et flatestykke F ligger i første kvadrant og er begrenset av koordinataksene og grafene til funksjonene f og g, gitt ved y=f(x)=x^2+1 og y=g(x)=2x^2-8

a) Skisser F og bestem arealet av F.
Denne er grei

Når F roterer om y-aksen får vi et omdreiningslegeme med form som et glass. La enheten for både x og y være centimeter og bestem:

b) hvor mange cm^3 glasset rommer

c) vektem (massen) av glasset, når glassets tetthet er 2.5g/cm^3


I denne oppgaven er det korrekte svaret på volumet glasset _rommer_
[tex]V=\frac{81\pi}2\approx 127[/tex]

Når man skal regne ut massen av selve glasset må man rotere rundt x-aksen isteden for y-aksen.

Sliter litt med akkurat den siste oppgaven der du skal bestemme massen av glasset..

Fasitsvar er ca. 192 gram

Jeg ser at det integralet du har satt opp fish beregner korrekt volum av selve glasset, forstår hvordan du har tenkt.. men er det mulig og finne det samme volumet ved å dreie flatestykket om x-aksen?

[Olorin]

Jeg fant arealet av flaten F slik:

[tex]A=\int_0^3f(x)\rm{dx}-\int_2^3g(x)\rm{d}x=\frac{22}3[/tex]

Volumet av omdreiningslegemet (Volumet av selve glasset) ser jeg nå at jeg også kan finne slik:

[tex]V=2\pi\int_0^3x\cdot f(x)\rm{d}x-2\pi\int_2^3x\cdot g(x)\rm{d}x=\frac{49\cdot\pi}2[/tex]


Hvis du ville regnet ut hvor mye glasset rommer, hvordan ville du satt opp uttrykket?

Jaja.. Tror jeg har funnet ut av det, skal jeg rotere den om y-aksen kan det gjøres slik:


[tex]V=\pi\int_1^{10}(f(y))^2\rm{d}y[/tex]

[tex]f(y)=\sqr{y-1}[/tex]

[tex]V=\pi\int_1^{10}(\sqr{y-1})^2\rm{d}y=\frac{81\pi}2[/tex]