Euklids algoritme.........Kan DU hjelpe meg?? :-)

[emi]

Kan noen argumentere hvorfor Ekluids algorisme fungerer?

[Magnus]

Kan du være litt mer presis?

[emi]

Kan noen argumentere hvorfor Ekluids algorisme fungerer, og hvordan kan man konkret kan bruke den i de første trinnene i grunnskolen??Argumenter for at produktet av a og b blir lik produktet av (a, b) og [a, b].
Om noen kan hjelpe meg litt på vei, hadde jeg blitt så utrolig glad

Det er dette som står i oppgave teksten..Om du kan svare på de to første spm. Hvorfor fungerer det? Andre spm er konkrete ting man kan gjøre i hennhold til algorismen, hvordan vi kan jobbe med den. Ble du nå klokere av dette ?

Håper på svar. Kansje du kan fortelle litt om Ekluids algorisme?

[daofeishi]

Grunnen til at den fungerer er at dersom heltall a, b, c, x tilfredsstiller a = bx + c, så er gcd(a, b) = gcd(b, c). Verifiser dette på egenhånd.

Folk er kanskje litt mer villig til å hjelpe deg om du legger ut noen av dine egne tanker først.

[emi]

Hei!
Prøver meg fram.. Har to tall 429,156

429=156(2)+117
156=117(1)+39
117=39(3)+0

Sff= 39 da det er siste rest.

Så største felles faktor i a,b(429,156) og b,c(156,39) er det samme, altså 39 så lenge man bruker algoritmen.
Høres dette riktig ut?
Sitter også å tenker på hvordan man kan lære små barn å bruke den ( så tidlig som mulig i grunskolen). Håper på å få noen ideer. Tenker også på SFF og MFM hvordan små barn kan lære seg dette..

Mfm av 429,156

Finn produktet av 429,156 =66924
66924:39(sff)=1716
mfm=1716

Er det noen annen måte å regne ut dette på, eller ser det greit ut?

Hvordan forklare at produktet av a,b er lik produktet av (a,b) og [a, b].

66924:1716=39
66924:39= 1716
39x1716=66924

Alt henger sammen..men hvordan forklare det?

Mange spm..håper på mange gode svar:-)

[nybegynner]

Bra spørsmål. Læreplansmessig passer dette godt inn i 8.klasse siden det er der elevene lærer om primtall for første gangen. En mulig ide er å introdusere aritmetikkens fundamentalteorem etter introduksjonen av primtall. Ved bruk primtallsfaktoriseringen kan man regne ut MFM og SFF.
La [tex]x=p_1^{\alpha_1}...p_n^{\alpha_n}[/tex] og [tex]y=q_1^{\beta_1}...q_m^{\beta_m}[/tex]. Dersom [tex]p_i=q_k[/tex] for noen [tex]i,k[/tex] er [tex]p_i^{min(\alpha_i,\beta_k)}[/tex] en faktor av SFF per def. Produktet av alle disse primtallsfaktorene er lik SFF.
Dersom [tex]p_i=q_k[/tex] for noen [tex]i,k[/tex] er [tex]p_i^{max(\alpha_i,\beta_k)}[/tex] en faktor av MFM per def. og dersom
[tex]p_i\neq q_k[/tex] for alle [tex]k[/tex] er [tex]p_i^{\alpha_i}[/tex] også en faktor av MFM. Produktet av alle disse faktorene er lik MFM. Da bør det være en smal sak for deg å forklare at [tex]xy=[/tex]SFF*MFM. Dersom det er et primtallsfaktor [tex]p_i^{\alpha_i}[/tex] som deler x men ikke y, er faktoren i MFM. Dersom det er et felles primtall [tex]p_i[/tex] i faktoriseringa til både x og y, er primtallet er primtallet i både SFF og MFM s.a.[tex]p_i^{max(\alpha_i,\beta_k)+min(\alpha_i,\beta_k)}=p_i^{\alpha_i+\beta_k}=p_i^{\alpha_i}p_i^{\beta_k}[/tex], Da ser du at [tex]xy=[/tex]SFF*MFM.
Jeg vet ikke hva den ideelle alderen for å lære dette er, men det kan nok introduseres før ungdomsskolen. Slutten av mellomtrinnene og begynnelsen av stortrinnene, kanskje? Gjerne før brøk. Når de lærer om brøk kan de anvende primtallsfaktoriseringen til å forkorte brøker slik at telleren og nevneren har SFF 1 og bruke MFM når de legger sammen brøker med ulike nevnere f.eks. Som du vet er primtallsfaktoriseringen tung hvis tallet er stort, så dette er flott hvis elevene ikke arbeider med store tall. Deretter kan man introdusere Euklids algoritme for å finne SFF når primtallsfaktoriseringen tar lang tid og ved [tex]xy=[/tex]SFF*MFM
kan de finne MFM. Håper dette ga deg noen ideer. Lykke til med undervisningen ^_^.

[emi]

Taker for svar:-)

Håper flere kan komme med innspill. Er nybegynner når det gjelder matematikk på høyere nivå, så jeg håper på svar som er grunnleggende forklart.

Matte er gøy når man får det til:-)

[Zivert]

Hvis gcd(a,b)=k betyr det at a=mk og b=nk (gcd(m,n)=1)
Da er lmc(a,b)=mnk, og som vi ser er a*b=gcd(a,b)*lmc(a,b)

Jeg er dessuten helt enig i at dette med gcd og lmc bør læres så tidlig som mulig

[emi]

Takk:-)
Glad for alle gode svar.
Er det flere der ute som har noen tanker om dette?