Denne oppgaven var litt vrien..
A formula for the curvature of the graph of a function in the xy-plane
a)
The graph [tex]y=f(x)[/tex] in the xy-plane automaticly has the parametrization x= x, y =f(x) , and the vector formula
r(x) = xi + f(x)j. Use hits formula to show that if f is a twice-differentiable function of x , then
[tex]\kappa = \frac{|f``(x)|}{[1+(f`(x))^2]^{\frac{3}{2}}}[/tex]
Jeg prøvde å gå fram ved å finne tangent enhets vektoren deretter derivere den og ta absoluttverdien av den. så sette den inn i denne:
[tex]\kappa = \frac{1}{|v|}*|\frac{dT}{dt}|[/tex]
men jeg får de ikke til å stemme overens... håper noen kan hjelpe til
vektor oppgave
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
en formel for krumningsradiusen er:
[tex]\kappa = \frac{\text |\vec v x \vec a|}{|\vec v|^3}[/tex]
der
[tex]\vec r=(x, f(x))[/tex]
[tex]\vec r^, = \vec v = (1, f^,(x))[/tex]
[tex]\vec r^{"}= \vec a = (0, f^{"}(x))[/tex]
---------------------------------------------------------
for vektorproduktet [tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|[/tex]
sett opp determinanten og man får:
[tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|=|(0,0,f^{"}(x))| = \sqrt{(f^{"}(x))^2}=f^{"}(x)[/tex]
[tex]|\vec v|^3= (\sqrt{1^2 + (f^,(x))^2})^3[/tex]
[tex]|\vec v|^3= ({1 + (f^,(x))^2})^{3/2}[/tex]
dvs
[tex]\kappa= \frac{|f^{"}(x)|}{(1+(f^,(x))^2)^{3/2}[/tex]
[tex]\kappa = \frac{\text |\vec v x \vec a|}{|\vec v|^3}[/tex]
der
[tex]\vec r=(x, f(x))[/tex]
[tex]\vec r^, = \vec v = (1, f^,(x))[/tex]
[tex]\vec r^{"}= \vec a = (0, f^{"}(x))[/tex]
---------------------------------------------------------
for vektorproduktet [tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|[/tex]
sett opp determinanten og man får:
[tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|=|(0,0,f^{"}(x))| = \sqrt{(f^{"}(x))^2}=f^{"}(x)[/tex]
[tex]|\vec v|^3= (\sqrt{1^2 + (f^,(x))^2})^3[/tex]
[tex]|\vec v|^3= ({1 + (f^,(x))^2})^{3/2}[/tex]
dvs
[tex]\kappa= \frac{|f^{"}(x)|}{(1+(f^,(x))^2)^{3/2}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
[tex]\vec{v} = [1,f^,(x)] \ , \ \vec{a} = [0,f^{,,}(x)][/tex]
[tex]\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a} = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} \\ 1 & f^,(x) \\ 0 & f^{,,}(x) \end{matrix}\right| = \vec{i}(f^{,,}(x) \ \cdot \ 1) - \vec{j}(0 \ \cdot \ f^{,}(x)) = (f^{,,}(x))\vec{i} - 0\vec{j}[/tex]
Gir:
[tex]|\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a}| = \sqrt{(f^{,,}(x))^2} = f^{,,}(x)[/tex]
[tex]\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a} = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} \\ 1 & f^,(x) \\ 0 & f^{,,}(x) \end{matrix}\right| = \vec{i}(f^{,,}(x) \ \cdot \ 1) - \vec{j}(0 \ \cdot \ f^{,}(x)) = (f^{,,}(x))\vec{i} - 0\vec{j}[/tex]
Gir:
[tex]|\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a}| = \sqrt{(f^{,,}(x))^2} = f^{,,}(x)[/tex]
Det er mulig å gjøre det på måten du prøvde først:
Da blir:
[tex]\vec {v}=\vec{i}+f^,(x)\vec{j}[/tex]
[tex]|\vec{v}|=sqrt{1+[f^,(x)]^2}[/tex]
[tex]\vec{T}=(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{i}+f^,(x)(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{j}[/tex]
[tex]\frac{d \vec{T}}{dt}=\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{i}+\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{j}[/tex]
Videre blir da
[tex]|\frac{d \vec{T}}{dt}|=sqrt{(\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2+(\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2}=sqrt{\frac{[f^{,,}(x)]^2(1+[f^,(x)]^2)}{(1+[f^,(x)]^2)^3}}=\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|[/tex]
Til slutt
[tex]\kappa=\frac{1}{sqrt{1+[f^,(x)]^2}}\cdot\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|}=\frac{|f^{,,}(x)|}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}[/tex]
(Her er det en del mellomregninger som jeg ikke har skrevet opp)
Da blir:
[tex]\vec {v}=\vec{i}+f^,(x)\vec{j}[/tex]
[tex]|\vec{v}|=sqrt{1+[f^,(x)]^2}[/tex]
[tex]\vec{T}=(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{i}+f^,(x)(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{j}[/tex]
[tex]\frac{d \vec{T}}{dt}=\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{i}+\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{j}[/tex]
Videre blir da
[tex]|\frac{d \vec{T}}{dt}|=sqrt{(\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2+(\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2}=sqrt{\frac{[f^{,,}(x)]^2(1+[f^,(x)]^2)}{(1+[f^,(x)]^2)^3}}=\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|[/tex]
Til slutt
[tex]\kappa=\frac{1}{sqrt{1+[f^,(x)]^2}}\cdot\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|}=\frac{|f^{,,}(x)|}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}[/tex]
(Her er det en del mellomregninger som jeg ikke har skrevet opp)
b) Use the formula for [tex]\kappa [/tex] in part a) to find the curvature of
[tex] y = ln(cosx), -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} [/tex].
Dette var greit.
[tex]\frac{1+tan^2 x}{[1+ tan^x]^{\frac{3}{2}}} = ( cos^{-2} x )^{-\frac{1}{2}} = cosx[/tex]
så spør de etter i c)
Show that the curvature is zero at a point of inflection.
Skjønner ikke helt hva de spør om her.
inflection betyr bøyning?
[tex] y = ln(cosx), -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} [/tex].
Dette var greit.
[tex]\frac{1+tan^2 x}{[1+ tan^x]^{\frac{3}{2}}} = ( cos^{-2} x )^{-\frac{1}{2}} = cosx[/tex]
så spør de etter i c)
Show that the curvature is zero at a point of inflection.
Skjønner ikke helt hva de spør om her.
inflection betyr bøyning?