vektor oppgave

[terje1337]

Denne oppgaven var litt vrien..


A formula for the curvature of the graph of a function in the xy-plane

a)
The graph [tex]y=f(x)[/tex] in the xy-plane automaticly has the parametrization x= x, y =f(x) , and the vector formula
r(x) = xi + f(x)j. Use hits formula to show that if f is a twice-differentiable function of x , then

[tex]\kappa = \frac{|f``(x)|}{[1+(f`(x))^2]^{\frac{3}{2}}}[/tex]

Jeg prøvde å gå fram ved å finne tangent enhets vektoren deretter derivere den og ta absoluttverdien av den. så sette den inn i denne:

[tex]\kappa = \frac{1}{|v|}*|\frac{dT}{dt}|[/tex]

men jeg får de ikke til å stemme overens... håper noen kan hjelpe til

[Janhaa]

en formel for krumningsradiusen er:

[tex]\kappa = \frac{\text |\vec v x \vec a|}{|\vec v|^3}[/tex]

der

[tex]\vec r=(x, f(x))[/tex]

[tex]\vec r^, = \vec v = (1, f^,(x))[/tex]

[tex]\vec r^{"}= \vec a = (0, f^{"}(x))[/tex]
---------------------------------------------------------

for vektorproduktet [tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|[/tex]
sett opp determinanten og man får:

[tex]\;\;\|\text \vec v x \vec a|=|(0,0,f^{"}(x))| = \sqrt{(f^{"}(x))^2}=f^{"}(x)[/tex]

[tex]|\vec v|^3= (\sqrt{1^2 + (f^,(x))^2})^3[/tex]

[tex]|\vec v|^3= ({1 + (f^,(x))^2})^{3/2}[/tex]

dvs

[tex]\kappa= \frac{|f^{"}(x)|}{(1+(f^,(x))^2)^{3/2}[/tex]

[terje1337]

takk. hvordan kommer man fram til den formelen?

[terje1337]

hehe jeg fant ut, tusen takk for hjelpen. den formelen sto vist i neste del kap. som jeg ikke har sett så mye på enda

[terje1337]

hvordan klarer du å sette opp determinant med bare x og y? tenkte kryssprodukt bare gjelder for rommet, så vet ikke helt hvordan man gjør dette..

[zell]

[tex]\vec{v} = [1,f^,(x)] \ , \ \vec{a} = [0,f^{,,}(x)][/tex]

[tex]\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a} = \left| \begin{matrix}\vec{i} & \vec{j} \\ 1 & f^,(x) \\ 0 & f^{,,}(x) \end{matrix}\right| = \vec{i}(f^{,,}(x) \ \cdot \ 1) - \vec{j}(0 \ \cdot \ f^{,}(x)) = (f^{,,}(x))\vec{i} - 0\vec{j}[/tex]

Gir:

[tex]|\vec{v} \ \text{x} \ \vec{a}| = \sqrt{(f^{,,}(x))^2} = f^{,,}(x)[/tex]

[orjan_s]

Det er mulig å gjøre det på måten du prøvde først:

Da blir:

[tex]\vec {v}=\vec{i}+f^,(x)\vec{j}[/tex]

[tex]|\vec{v}|=sqrt{1+[f^,(x)]^2}[/tex]

[tex]\vec{T}=(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{i}+f^,(x)(1+[f^,(x)]^2)^{-1/2}\vec{j}[/tex]

[tex]\frac{d \vec{T}}{dt}=\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{i}+\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}\vec{j}[/tex]

Videre blir da

[tex]|\frac{d \vec{T}}{dt}|=sqrt{(\frac{-f^{,,}(x)f^,(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2+(\frac{f^{,,}(x)}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}})^2}=sqrt{\frac{[f^{,,}(x)]^2(1+[f^,(x)]^2)}{(1+[f^,(x)]^2)^3}}=\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|[/tex]

Til slutt

[tex]\kappa=\frac{1}{sqrt{1+[f^,(x)]^2}}\cdot\frac{|f^{,,}(x)|}{|1+[f^,(x)]^2|}=\frac{|f^{,,}(x)|}{(1+[f^,(x)]^2)^{3/2}}[/tex]

(Her er det en del mellomregninger som jeg ikke har skrevet opp)

[zell]

Gjorde den slik jeg også, meget tungvint dog.

[orjan_s]

ja det gikk en del sider der ja

[terje1337]

se der ja prøvde sånn først med klussa litt med regninga hehe

[zell]

En liten digresjon: Det skrives "vektoroppgave".

[terje1337]

b) Use the formula for [tex]\kappa [/tex] in part a) to find the curvature of

[tex] y = ln(cosx), -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} [/tex].

Dette var greit.

[tex]\frac{1+tan^2 x}{[1+ tan^x]^{\frac{3}{2}}} = ( cos^{-2} x )^{-\frac{1}{2}} = cosx[/tex]

så spør de etter i c)

Show that the curvature is zero at a point of inflection.

Skjønner ikke helt hva de spør om her.

inflection betyr bøyning?

[terje1337]

En liten digresjon: Det skrives "vektoroppgave".

ok

[zell]

inflection = vendepunkt.

I vendepunktene er den andrederiverte lik null, og dermed er jo også krumningen null.