Har et spørgsmål vedrørende en rekke. kan noen bidra med vurdering om følgende utsagn stemmer: ( en utledning eller delvise innspill er også kjekke å få )
[symbol:sum][sub]n=1[/sub] [sup] [symbol:uendelig] [/sup](x[sup]n[/sup])/ [symbol:rot] n Konvergere for alle x er element i [-1,1] og divigerer for alle andre x.
Beklager notasjonen, er fersk på dette ennå.
Takknemlig for innspill.
-Har sett på bruk av absoluttverdien av 1/ [symbol:rot] n og vurdert konvergens absolutt. Funnet divergens.
-Har tatt en vanlig grenseverditest for lim n-> [symbol:uendelig] a[sub]n[/sub]=0. Fant da et 0/1 uttrykk og a[sub]n[/sub]=0. Mao Konvergens.
Hva er rett og hvordan gjøre en slik begrunnelse???
Tah
Rekke, konvergens innenfor et gitt intervall
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Feil.tah skrev: -Har tatt en vanlig grenseverditest for lim n-> [symbol:uendelig] a[sub]n[/sub]=0. Fant da et 0/1 uttrykk og a[sub]n[/sub]=0. Mao Konvergens.
Du kan ikke slutte at en rekke konvergerer ut fra n-teleddstesten.
Hvis rekka konvergerer, da må [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0[/tex]
Men det motsatte gjelder ikke nødvendigvis.
Hvis [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0[/tex] så kan rekka både konvergere og ikke konvergere. ([tex]\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac 1n[/tex] er et eksempel på en divergent rekke hvor det n'te leddet går mot null.)
[tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0[/tex] er altså en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for konvergens.
Det er veldig viktig å forstå forskjellen mellom implikasjon og ekvivalens. Logikk er det kapitlet i ex.phil.-boka (Dybvig & Dybvig) som ikke blir undervist, men som enhver student burde lese. (I motsetning til de andre kapitlene, som blir undervist, men som ikke alle studenter har nytte av.)
Ok . Antar konvergens etter å ha funnet a=0. Og innser begrenset bevisførsel.
Hvordan bevise tilstrekkelig at denne konvergerer?
Så et annet spørsmål. Kan en rekke være konvergent i ett intervall for så å være divergent i et annet??? Strider mot min personlige overbevisning
Tah
Hvordan bevise tilstrekkelig at denne konvergerer?
Så et annet spørsmål. Kan en rekke være konvergent i ett intervall for så å være divergent i et annet??? Strider mot min personlige overbevisning
Tah
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Vel, du har jo en del tester som gir tilstrekkelige (men ikke nødvendige) betingelser for konvergens. Dette er f.eks. forholdstesten ([tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{n+1}}{a_n} < 1[/tex]) for å vurdere konvergens av potensrekker er denne veldig nyttig (ser du hvorfor?). I tillegg har du f.eks. rottesten, integraltesten og Leibniz' test for alternerende rekker.
Og at en potensrekke kan konvergere for noen x, men ikke for andre, er ikke så rart. Hvorvidt en rekke konvergerer er avhengig av dens ledd, og i potensrekker er leddene avhengige av x. Den geometriske rekka [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n[/tex] er jo et flott eksempel på en rekke som konvergerer når [tex]|x|<1[/tex], men divergerer ellers,
Og forresten: fasiten for denne rekka, er, så vidt jeg kan se, at den konvergerer for [tex] x \in [-1,1)[/tex] og divergerer ellers.
Og at en potensrekke kan konvergere for noen x, men ikke for andre, er ikke så rart. Hvorvidt en rekke konvergerer er avhengig av dens ledd, og i potensrekker er leddene avhengige av x. Den geometriske rekka [tex]\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} x^n[/tex] er jo et flott eksempel på en rekke som konvergerer når [tex]|x|<1[/tex], men divergerer ellers,
Og forresten: fasiten for denne rekka, er, så vidt jeg kan se, at den konvergerer for [tex] x \in [-1,1)[/tex] og divergerer ellers.
Jeg har brukt divergenstesten funnet a=0. Bruker forholdstesten for å bevisføre konvergens. Den er ok! Siden forhåndstallet blir mindre enn 1 så konvergerer rekka. Blir den over betyr dette at a[sub](n+1)[/sub] og den vokser dvs går mot [symbol:uendelig] .
Jeg tolker deg dithen at vi har konvergens i intervallet [-1,1] og divergens forøvrig! Noe jeg har konkludert med stemmer. Du har brukt parantes etter tallet 1 i intervallet. En trykkleif eller bevisst!
Tah
Jeg tolker deg dithen at vi har konvergens i intervallet [-1,1] og divergens forøvrig! Noe jeg har konkludert med stemmer. Du har brukt parantes etter tallet 1 i intervallet. En trykkleif eller bevisst!
Tah
-
Bogfjellmo
- Cantor
- Innlegg: 142
- Registrert: 29/10-2007 22:02
Bevisst, intervallet mitt inneholder nemlig ikke 1. (Kanskje er du mer vant med notasjonen [-1,1>, den brukes også noen ganger.) For x=1 divergerer rekka.
Du påstår at du har [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{n+1}}{a_n} < 1[/tex] Dette er bare sant for noen x, hvilke?
Du påstår at du har [tex]\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {a_{n+1}}{a_n} < 1[/tex] Dette er bare sant for noen x, hvilke?
Forholdstallstesten
lim[symbol:sum] [sup]a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub][/sup]<1, gjelder for x=(<--,1]?
Hvis det stemmer kan det se ut som x=1 skal være med i løsningsmegnden, men dette stemmer ikke overens med intervallet hvor [symbol:sum] a[sub]n[/sub] konvergerer, som tidligere vist ble x= [-1,1).
Vil dette si at forholdstallstesten i dette tilfellet ikke er en god metode?
lim[symbol:sum] [sup]a[sub]n+1[/sub]/a[sub]n[/sub][/sup]<1, gjelder for x=(<--,1]?
Hvis det stemmer kan det se ut som x=1 skal være med i løsningsmegnden, men dette stemmer ikke overens med intervallet hvor [symbol:sum] a[sub]n[/sub] konvergerer, som tidligere vist ble x= [-1,1).
Vil dette si at forholdstallstesten i dette tilfellet ikke er en god metode?