fullstendige kvadrat

[cecilia]

korleis drøfter eg ein annengradslikning ved hjelp av fullstendige kvadrats metode?

[FredrikM]

Med "drøfte", mener du å finne løsningene?

[96xy]

Hei:)

Finna løysingane er ikkje så vanskeleg viss du har eit utrykk. Du tenkjer kanskje på å utleia andregradslikninga ved hjelp av fullstendig kvadrat. Det kan iallefall gjerast slik som dette;


[tex] \ ax^2 + bx + c = 0 [/tex]
*Flyttar over konstantleddet.
[tex] \ ax^2 + bx = -c [/tex]
*Delar på a i alle ledd
[tex] \ x^2 + {\frac{b}{a}x} = -\frac{c}{a} [/tex]
*Legg til [tex] (\frac{b}{2a})^2 [/tex]på begge sidene av likskapsteikn
[tex] \ x^2 + {\frac{b}{a}x} + (\frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a} [/tex]
*Reknar så ut.
[tex] \ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a} [/tex]

[tex] \ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4a*c}{4a*a} [/tex]

[tex] \ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} [/tex]

[tex] \ (x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{d}{4a^2} [/tex]
*d kallar me diskriminanten, altså den som avgjer eller skil likninga. d avgjer om andregradslikninga er løyseleg eller ikkje. Viss d ikkje er negativ kan me rekna ut rota av d. Då får me;
[tex] \ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{d}{4a^2}} [/tex]

[tex] \ x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{d}}{2a} [/tex]

[tex] \ x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{d}}{2a} [/tex]

[tex] \ x = \frac{-b \pm \sqrt{d}}{2a} [/tex]
*Set så inn det me hadde for diskriminanten:
[tex] \ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a} [/tex]

QED

Det me altså gjorde var at me la til [tex] (\frac{b}{2a})^2 [/tex] på begge sider slik at me fekk eit fullstendig kvadrat.

Er ikkje så veldig inne på dette med bevisføring så tar i mot rettelsar med takk

[Emilga]

Jeg kan sitere meg selv, for det det er verdt.

Her er noen andre annengradsutrykk som jeg fant i boka mi:

[tex]5x^2 - 5x - 30[/tex]
Hint: [tex]5(x^2-x-6)[/tex]

[tex]2x^2 - 4x - 30[/tex]
[tex]3x^2 + 24x +48[/tex]
[tex]x^2 - 6x + 8[/tex]
[tex]x^2 + 6x + 8[/tex]
[tex]x^2 + 4x - 5[/tex]
[tex]x^2 - 12x + 20[/tex]
[tex]2x^2 + 16x - 18[/tex]
[tex]4x^2 + 40x + 36[/tex]



Hvis du vil finne løsningen til annengradsutrrykket [tex]2x^2 - 4x - 30[/tex] kan du gjøre følgende:

Sett uttrykket lik null.
[tex]2x^2 - 4x - 30 = 0[/tex]

Flytt over konstantleddet.
[tex]2x^2 - 4x = 30[/tex]

Få [tex]2x^2[/tex] til å bli [tex]x^2[/tex] ved å dele alt på 2.
[tex]x^2 - 2x = 15[/tex]

"Halver, kvadrer og adder" førstegradsleddet, for å danne et fullstendig kvadrat på venstresiden.
[tex]x^2 - 2x + (\frac{-2}{2})^2= 15 + (\frac{-2}{2})^2[/tex]

[tex]x^2 - 2x + (-1)^2= 15 + (-1)^2[/tex]

Faktoriser venstresiden, og regn ut høyresiden. Hvis du får et negativt tall på høyresiden har uttrykket ingen løsning. Hvis du får null på høyre siden har det én løsning. Og hvis du får et positivt tall har det to løsninger.
[tex](x - 1)^2 = 16[/tex]

Ta kvadratroten av hele sulamitten:
[tex]x -1 = \pm \sqrt{16}[/tex]
[tex]x -1 = \pm 4[/tex]
[tex]x = 1 \pm 4[/tex]

[tex]x_1 = (-3) \,\text{og}\, x_2 = 5[/tex]




Klarer du å utlede annengradsformelen (få x alene på høyre side) ved å bruke denne metoden? (Espen180 har laget en tråd om dette i bevisforumet.)

[tex]ax^2 + bx + c = 0[/tex]

[tex]x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0[/tex]
(Husk: halvere, kvadrere og addere.)

[nattematte]

Og for oss som syns [tex](\frac{b}{2a})^2[/tex] er en guffen brøk, så finnes et mye koseligere alternativ:


[tex]ax^2+bx+c=0[/tex]
[tex]ax^2+bx =-c[/tex]
Multipliser begge sider med 4a
[tex]4a^2x^2+4abx=-4ac [/tex]
Legg til b^2 på begge sider
[tex]4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac [/tex]
Faktoriser venstre side (bruk 1.kvadratsetning "baklengs")
[tex](2ax+b)^2=b^2-4ac [/tex]
[tex]2ax+b=\pm \sqrt{b^2-4ac} [/tex]
[tex]x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} [/tex]