Differensiallikning

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk på høyskolenivå. Alle som har kunnskapen er velkommen med et svar. Men, ikke forvent at admin i matematikk.net er spesielt aktive her.

Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa

Svar
liengen
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 3
Registrert: 24/01-2008 17:03

Skal løse differensiallikningen: xy`+3y=cosx/x²

1. Finner først løsning på den homogene likningen:

y=Ae[sup]-3[/sup]

2. Finner/tipper en partiell løsning(elr hva det heter). Det er her jeg sliter litt. Ser på høyre siden av likningen (cosx/x²) og tipper denne likningen:

y=(Ccosx+Dsinx)/(c[sub]0[/sub]+c[sub]1[/sub]x+c[sub]2[/sub]x²)
der C, D, c[sub]0[/sub], c[sub]1[/sub] og c[sub]c[/sub] er konstanter (sikkert feil :? )

Uansett... setter dette inn i likningen, xy`+3y=cos/x² (gidder ikke å skrive alt på nytt) og her får vi altså 5 ukjente som vi skal finne. Hvis dette er rett, hvordan finner jeg så disse 5 ukjente?
cule
Pytagoras
Pytagoras
Innlegg: 18
Registrert: 18/01-2008 21:29

Jeg ville prøvd metoden som kalles 'variasjon av parametere', blir veldig mye tex'ing hvis jeg skal forklare alt her, men det står sikkert om det i læreboka di...du bruker hvertfall wronski-determinanten og setter inn i en formel som det ligger en logikk bak :)
Kort fortalt kan den brukes hvis høyresida av ligninga ikke er slik du ofte "gjetter deg til" (tror du burde lese litt på logikken bak dette og)


http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_ ... parameters
http://www.cliffsnotes.com/WileyCDA/Cli ... 19722.html

-cule
monster
Cayley
Cayley
Innlegg: 70
Registrert: 09/10-2006 16:48
Sted: Trondheim

kan noen løse denne diff oppgaven?

takk
Mayhassen
Brahmagupta
Brahmagupta
Innlegg: 374
Registrert: 30/03-2006 18:55
Sted: Brumunddal

Vel, jeg kan jo gi det et forsøk.
Bruker ikke no fancy wronski eller slikt, men den kan vel løses som en 1.ordens lineær likning med integrerende faktor.
[tex]y\prime+\frac3x y=\frac{cos(x)}{x^3}[/tex]
Integrerende faktor blir x³, multipliserer hvert ledd med denne og omformer venstresiden ved baklengs produktregel for derivasjon
[tex](x^3y)\prime=cos(x) \\ x^3y=\int \cos(x) dx \\ x^3y=\sin(x)+C \\ y=\frac{sin(x)+C}{x^3}[/tex]

Noen får kjefte hvis det er noe feil
Badeball
Cantor
Cantor
Innlegg: 134
Registrert: 13/06-2008 22:15
Sted: Bergen

Ingen vits med variasjon av parametre på en 1. ordens diff.likning vel.
monster
Cayley
Cayley
Innlegg: 70
Registrert: 09/10-2006 16:48
Sted: Trondheim

Mayhassen skrev:Vel, jeg kan jo gi det et forsøk.
Bruker ikke no fancy wronski eller slikt, men den kan vel løses som en 1.ordens lineær likning med integrerende faktor.
[tex]y\prime+\frac3x y=\frac{cos(x)}{x^3}[/tex]
Integrerende faktor blir x³, multipliserer hvert ledd med denne og omformer venstresiden ved baklengs produktregel for derivasjon
[tex](x^3y)\prime=cos(x) \\ x^3y=\int \cos(x) dx \\ x^3y=\sin(x)+C \\ y=\frac{sin(x)+C}{x^3}[/tex]

Noen får kjefte hvis det er noe feil
kunne du forklare litt næremere det med "baklengs produktregel"
jeg får ikke helt med meg hva du gjør på venstre sida!
Olorin
Lagrange
Lagrange
Innlegg: 1162
Registrert: 15/12-2006 15:41
Sted: Trondheim
Kontakt:

Slik lærte jeg å bruke integrerende faktor, og har ikke glemt det siden. :)
Kan også gi forklaring på bakvendt produktregel.

Inhomogene diff.likn. av 1.orden av typen
[tex]y^\prime +P(x)\cdot y=Q(x)[/tex]

Har integrerende faktor, I(x)

[tex]I(x)=e^{\int P(x)\rm{d}x}[/tex]

I ditt tilfelle [tex]y^\prime+\frac3{x}y=\frac{\cos(x)}{x^3}[/tex]

[tex]I(x)=e^{\int \frac3{x}\rm{d}x} =e^{3\ln(x)}=e^{\ln(x^3)}=x^3,\,\ C=0[/tex]

ganger nå med I(x) på begge sider

[tex]y^\prime \cdot I(x)+3x^2y=\cos(x)[/tex]

Ser at [tex]3x^2=I^\prime(x)[/tex]

[tex]y^\prime \cdot I(x)+y\cdot I^\prime(x)=\cos(x)[/tex]

Produktregel for derivasjon [tex](uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime[/tex]

Ringer en bjelle;

[tex](y\cdot I(x))^\prime=\cos(x)[/tex]

Integrerer begge sider

[tex]\int (y\cdot I(x))^\prime \rm{d}x=\int \cos(x)\rm{d}x[/tex]

[tex]y\cdot I(x)=\sin(x)+C[/tex]

[tex]y=\frac{\sin(x)+C}{I(x)}=\frac{\sin(x)+C}{x^3}[/tex]
The square root of Chuck Norris is pain. Do not try to square Chuck Norris, the result is death.
http://www.youtube.com/watch?v=GzVSXEu0bqI - Tom Lehrer
monster
Cayley
Cayley
Innlegg: 70
Registrert: 09/10-2006 16:48
Sted: Trondheim

Den var nice :D
Tusen Takk
Svar