Finne et generelt uttrykk for øvre/nedre trappesum

[kjey]

OPPGAVE:

La [tex]f:[a,b] \to \mathbb{R}[/tex] være gitt ved [tex]f(x)=x.[/tex] For hver [tex]n \in \mathbb{N}[/tex] la [tex]\Pi_n[/tex] være partisjonen [tex]\left \{0, 1/n, 2/n, ..., (n-1)/n, 1} \right[/tex]. Finn uttrykk for de øvre og nedre trappesummene [tex]\phi(\Pi_n)[/tex] og [tex]N(\Pi_n)[/tex].
--------

Jeg starter med å prøve å finne et uttrykk for den øvre trappesummen. Vet at øvre trappesum er gitt ved

[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]

Det jeg tenkte (for å forenkle uttrykket) er at [tex]M_i[/tex] alltid må være [tex]x_i[/tex] siden det er den som gjør at [tex]f[/tex] får størst verdi i alle tilfellene. Derfor kan jeg skrive at

[tex]\phi(\Pi_n)=\sum_{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1})=\sum_{i=1}^{n}x_{i}(x_{i}-x_{i-1})[/tex]

Men dette igjen kan jo skrives som

[tex]\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}(\frac{i}{n} - \frac{i-1}{n})=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n^2}[/tex].

Så langt så greit. Men hvordan jeg skal bruke det jeg har kommet fra til er litt værre. Er det noen som har et hint i hvordan jeg kan gjøre om summen til en generell formel?

[mrcreosote]

Mye riktige tanker her. Men du skriver at du vil summere fra n=1 når du mener fra i=1, det er kanskje det som forvirrer deg. Summen din er nå [tex]\sum_{i=1}^n\frac i{n^2}=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n i[/tex]. Denne summen kjenner du sikkert et uttrykk for, hvis ikke bør du lære deg det snarest!

[kjey]

Hehe,, i'ene forvirret meg ikke, hadde bare skrevet feil, men visste ikke at jeg kunne trekke ut det ene leddet utenfor summasjonen, men skjønner helt klart at det er mulig! Men uansett, kom fram til svaret:

[tex]\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i=(\frac{1}{n^2})\frac{n(n + 1)}{2}=\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n})[/tex].

Takk for hjelp!