Problem med inhomogen differensiallikning av 1. orden med..

[kimla]

Problem med inhomogen differensiallikning av 1. orden med konstante koeffisienter.

Oppgaven er som følger:

Løs følgende initialverdiproblem:
[tex]y^\prime - 2y = 4e^{2x}[/tex]
med startbetingelse: [tex]y(0) = 6[/tex]

Har fått med meg at for å løse et en inhomogen differensiallikning så må vi først løse det homogene, altså:
[tex]y^\prime - 2y = 0[/tex]

Jeg har fått den allmenne homogene løsningen: [tex]Ae^{2x}[/tex]

Det er når jeg skal prøve meg på den partikulære delen jeg blir usikker.

Vi må finne et forslag til den partikulære løsningen for [tex]F(x) = 4e^{2x}[/tex]

Dette har jeg kommet frem til (av tabellen i boka) at må bli: [tex]ce^{px} = Ke^{px}[/tex], som i mitt tilfelle blir: [tex]Ke^{2x}[/tex].

Da har vi altså:
[tex]y = Ke^{2x}[/tex]

Og den deriverte burde bli:
[tex]y^\prime = 2Ke^{2x}[/tex]

Setter vi dette inn i den originale inhomogene likningen:
[tex]y^\prime - 2y = 4e^{2x}[/tex] så får vi:
[tex]2Ke^{2x} - 2Ke^{2x} = 4e^{2x}[/tex].

Her ser vi at det er et eller annet feil iom. at venstresiden av likhetstegnet blir 0 og høyresiden blir 4e^(2x).

Foreleseren min har snakket om at hvis vi støter på like grader så må vi øke med en grad fra det leddet der det trengs (gange med x). Men dette virker for meg veldig diffust.

Er det noen der ute som kan hjelpe meg med å forstå hvordan dette utføres?

[fish]

Det er riktig at en partikulærløsning tar formen

[tex]y=Kxe^{2x}[/tex]

Hvis man anvender operatoren [tex]D-2[/tex] på hver side av differensiallikningen [tex](D-2)y=4e^{2x}[/tex], får man
[tex](D-2)^2y=(D-2)4e^{2x}=0[/tex]
Dette betyr at [tex]p=2[/tex] blir en dobbeltrot i den homogene likningen. Det forklarer at man må multiplisere førstevalget av partikulærløsning med [tex]x[/tex] (øke graden).

[kimla]

Det er riktig at en partikulærløsning tar formen

[tex]y=Kxe^{2x}[/tex]

Hvis man anvender operatoren [tex]D-2[/tex] på hver side av differensiallikningen [tex](D-2)y=4e^{2x}[/tex], får man
[tex](D-2)^2y=(D-2)4e^{2x}=0[/tex]
Dette betyr at [tex]p=2[/tex] blir en dobbeltrot i den homogene likningen. Det forklarer at man må multiplisere førstevalget av partikulærløsning med [tex]x[/tex] (øke graden).

Takker for svar, og beklager for sen tilbakemelding.

Har begynt å fatte det mer nå, og fått til likningen. Men må innrømme at jeg ikke skjønte forklaringen din.

Løser differensiallikningen for å vise andre undrere, som kanskje kan lure på hvordan man gjør dette, hva jeg kom frem til.

Se på min første post, vi går tilbake til det punktet jeg kom frem til, at [tex]y = Ke^{2x} [/tex]

Se nærme på denne og sammenlign den med høyre side av den inhomogene likningen (partikulær-delen). Det er jo ganske mye likhet mellom dem. Altså:
[tex]y = Ke^{2x}[/tex]
og
[tex]F(x) = 4e^{2x}[/tex]

Jeg sikter da til K-en i y og 4-tallet i F(x). Poenget er at hvert ledd (eller produkt eller hva det heter når de er helt alene) er like. Da må vi heve graden på dem før vi går videre, altså gange inn x på begge sider så det blir som følgende:
[tex]y = xKe^{2x}[/tex]
og
[tex]x4e^{2x}[/tex]

Herifra må vi finne den deriverte av y (bruker produktregelen for derivasjon):
[tex]y^\prime = [x * Ke^{2x}]^\prime = K [x * e^{2x}]^\prime[/tex]
Vi har bare sattt opp uttrykket med K utenfor (siden den er en konstant kan vi gjøre det).

Vi fortsetter:
[tex]K [x * e^{2x}]^\prime = K (1 * e^{2x} + x * 2e^{2x}) = Ke^{2x} (1 + 2x)[/tex]

Nå har vi funnet den deriverte av y.

Vi setter inn i den inhomogene likningen:
[tex]y^\prime - 2y = 4e^{2x}[/tex]
[tex]Ke^{2x}(1 + 2x) - 2xKe^{2x} = 4e^{2x}[/tex]

Vi kan dele på [tex]e^{2x}[/tex], og får:
[tex]K + 2Kx - 2Kx = 4[/tex]
[tex]K = 4[/tex]
[tex]F(x) = x * Ke^{2x} = 4xe^{2x}[/tex]

Det vi har gjort til nå er å finne den partikulære løsningen av oppgaven, den homogene løsningen var: [tex]Ae^{2x}[/tex].

Metoden for å løse en inhomogen differensiallikning av 1. orden med konstante koeffisienter (som dette jo er) er å summere (pluss/minus) den homogene løsningen med den partikulære.

[tex]y = y_homogen + y_partikulær = Ae^{2x} + 4xe^{2x}[/tex]

Vi har også en startbetlingelse som vi kan bruke til å finne A med.

Startbetlingelsen var: [tex]y(0) = 6[/tex]

[tex]y(0) = Ae^{2*0} + 4*0*e^{2*0} = A = 6[/tex]
(6-tallet av at y(0) = 6).

Vi står igjen med:
[tex]y = 6e^{2x} + 4xe^{2x} = e^{2x}(6 + 4x)[/tex]

Håper det går an å skjønne det jeg har skrevet nå. Hadde det litt travelt, men kan ikke feilsjekke for nå vil dama ha pc-en sin.