Trodde dette var et va de lette kapitlene men får det bare ikke til.
oppgaven er å skrive det komplekse tallet w= 3 - [symbol:rot] 3 i på polarform og avmerk det i det komplekse plan. Så videre regne ut w^3
og finne alle komplekse løsninger på ligningen z^4 = -16
Noen som kan hjelpe? Bruker jeg Moivre's Theorem?
Komplekse tall på polarform
Moderatorer: Vektormannen, espen180, Aleks855, Solar Plexsus, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa
-
pandorasbox
- Noether
- Innlegg: 46
- Registrert: 08/03-2008 18:05
- Sted: Bergen
Hei, er ikke dette oppgave 3 fra MAT111 innlevering? Selv, sliter jeg med oppgave 4 og 5
. Uansett, det du gjør er følgende;
Vi har [tex]w=3-\sqrt{3i}[/tex] , [tex]w=r(\cos\theta + i \sin\theta)[/tex] , [tex]r=|w|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] og [tex]\theta=\arctan(\frac{b}{a})[/tex]
Etter at vi har alle formlene som vi trenger, setter inn tall og får;
[tex]r=|w|=\sqrt{3^2+\sqrt{3^2}}= 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]\theta=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}+\pi =\frac{7\pi}{6} =\theta[/tex]
ette at vi fant alle nødvendige tallene som vi trengte, så kan vi skrive på polar form :
[tex]w=r(\cos\theta + i \sin\theta) = 2\sqrt{3} (\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin(\frac{7\pi}{6})) [/tex]
Edit: resten av oppgaven
oppgaven sier [tex]w^9[/tex] ikke [tex]w^3[/tex]!
vi vet at [tex]w^9=(3-\sqrt{3i})^9[/tex] skriv den som [tex]w^n=(re^{in\theta^n}) = r^n e^{in\theta}[/tex]
fra forrige oppgave har vi funnet det du trenger...
Etter det skriv den på [tex]w=a+bi[/tex] form!
Oppgave c)
[tex]Z^4 = -16[/tex] --> [tex]z=-16^ {\frac{1}{4}}[/tex]
skriv den på polar form og finn alle z'ene, men husk for [tex]\theta[/tex] for [tex]z1=0[/tex] for [tex]z2 =\pi/2[/tex] ..osv adderer du [tex]\pi/2[/tex] for hver [tex]z[/tex].
. Uansett, det du gjør er følgende;Vi har [tex]w=3-\sqrt{3i}[/tex] , [tex]w=r(\cos\theta + i \sin\theta)[/tex] , [tex]r=|w|=\sqrt{a^2+b^2}[/tex] og [tex]\theta=\arctan(\frac{b}{a})[/tex]
Etter at vi har alle formlene som vi trenger, setter inn tall og får;
[tex]r=|w|=\sqrt{3^2+\sqrt{3^2}}= 2\sqrt{3}[/tex]
[tex]\theta=\arctan(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{6}+\pi =\frac{7\pi}{6} =\theta[/tex]
ette at vi fant alle nødvendige tallene som vi trengte, så kan vi skrive på polar form :
[tex]w=r(\cos\theta + i \sin\theta) = 2\sqrt{3} (\cos(\frac{7\pi}{6})+i\sin(\frac{7\pi}{6})) [/tex]
Edit: resten av oppgaven
oppgaven sier [tex]w^9[/tex] ikke [tex]w^3[/tex]!
vi vet at [tex]w^9=(3-\sqrt{3i})^9[/tex] skriv den som [tex]w^n=(re^{in\theta^n}) = r^n e^{in\theta}[/tex]
fra forrige oppgave har vi funnet det du trenger...
Etter det skriv den på [tex]w=a+bi[/tex] form!
Oppgave c)
[tex]Z^4 = -16[/tex] --> [tex]z=-16^ {\frac{1}{4}}[/tex]
skriv den på polar form og finn alle z'ene, men husk for [tex]\theta[/tex] for [tex]z1=0[/tex] for [tex]z2 =\pi/2[/tex] ..osv adderer du [tex]\pi/2[/tex] for hver [tex]z[/tex].
Sist redigert av pandorasbox den 30/10-2008 14:49, redigert 2 ganger totalt.
Kan prøve å hjelpe deg litt på vei.
[tex]w = 3 - sqrt{3}i[/tex]
Vi regner ut modulusen slik:
[tex]r = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-3)^2} = sqrt 12[/tex]
Nå skal vi finne argumentet [tex]\theta[/tex]
[tex]cos \theta = a / r = 3 / sqrt 12 = sqrt{9/12} = sqrt{3/4} = sqrt{3}/2[/tex]
[tex]sin \theta = b / r = - sqrt{3} / sqrt{12} = sqrt{1/4} = 1/2[/tex]
Dette gir [tex]\theta = - \pi / 6[/tex]
Nå får vi [tex]w = r e^{i \theta} = sqrt{12} e^{-i \pi/6}[/tex]
Ser en har svart allerede, men tex-kodingen tok litt lenger tid enn jeg trudde ;o) Når du har eksponentialfunksjonen gir resten av oppgaven seg litt enklere...
[tex]w = 3 - sqrt{3}i[/tex]
Vi regner ut modulusen slik:
[tex]r = sqrt{a^2 + b^2} = sqrt{3^2 + (-3)^2} = sqrt 12[/tex]
Nå skal vi finne argumentet [tex]\theta[/tex]
[tex]cos \theta = a / r = 3 / sqrt 12 = sqrt{9/12} = sqrt{3/4} = sqrt{3}/2[/tex]
[tex]sin \theta = b / r = - sqrt{3} / sqrt{12} = sqrt{1/4} = 1/2[/tex]
Dette gir [tex]\theta = - \pi / 6[/tex]
Nå får vi [tex]w = r e^{i \theta} = sqrt{12} e^{-i \pi/6}[/tex]
Ser en har svart allerede, men tex-kodingen tok litt lenger tid enn jeg trudde ;o) Når du har eksponentialfunksjonen gir resten av oppgaven seg litt enklere...
-
pandorasbox
- Noether
- Innlegg: 46
- Registrert: 08/03-2008 18:05
- Sted: Bergen
Hei chrtsta,
" Dette gir [tex]\theta = - \pi / 6[/tex] "
skal man ikke addere den med [tex]\pi[/tex] ? mener at det er feil med [tex]- \pi / 6[/tex] , i hverfall den skal ikke være negativ!
" Dette gir [tex]\theta = - \pi / 6[/tex] "
skal man ikke addere den med [tex]\pi[/tex] ? mener at det er feil med [tex]- \pi / 6[/tex] , i hverfall den skal ikke være negativ!
Det stemmer vel forsåvidt at man bør ha positive radianverdier i første omløp, så jeg skal rette meg.
[tex]\theta = -\frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}[/tex]
Nå må jeg understreke at jeg ikke er helt sikker på dette, for jeg er ikke vant til å bruke arctan til å regne ut vinkelen der. Likevel får jeg en annerledes vinkel enn du gjør. Om du ser for deg enhetssirkelen med reel og imaginær akse kommer er w i fjerde kvadrant, ikke tredje som [tex]\frac{7 \pi}{6}[/tex] gjør. Er du enig i dette?
[tex]\theta = -\frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}[/tex]
Nå må jeg understreke at jeg ikke er helt sikker på dette, for jeg er ikke vant til å bruke arctan til å regne ut vinkelen der. Likevel får jeg en annerledes vinkel enn du gjør. Om du ser for deg enhetssirkelen med reel og imaginær akse kommer er w i fjerde kvadrant, ikke tredje som [tex]\frac{7 \pi}{6}[/tex] gjør. Er du enig i dette?
jeps innlevering på UIO-
pandorasbox
- Noether
- Innlegg: 46
- Registrert: 08/03-2008 18:05
- Sted: Bergen
chrtsta skrev:Det stemmer vel forsåvidt at man bør ha positive radianverdier i første omløp, så jeg skal rette meg.
[tex]\theta = -\frac{\pi}{6} = \frac{11 \pi}{6}[/tex]
Nå må jeg understreke at jeg ikke er helt sikker på dette, for jeg er ikke vant til å bruke arctan til å regne ut vinkelen der. Likevel får jeg en annerledes vinkel enn du gjør. Om du ser for deg enhetssirkelen med reel og imaginær akse kommer er w i fjerde kvadrant, ikke tredje som [tex]\frac{7 \pi}{6}[/tex] gjør. Er du enig i dette?
ops.
enig