Lengde av parametrisk kurve m.m.

[ventle]

Jobber altså med oppgaver om kurver gitt på parametrisk form.


1) Jeg skal finne lengden av en kurve gitt på formen
[tex]x = t - \frac{1}{3} t^3 \\ y = 4.5 - t^2[/tex]
for t = [0,3]

jeg slår opp og finner formelen

[tex]L = \int_{\alpha}^{\beta}{sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}} dt[/tex]

jeg begynner følgelig å derivere x og y
[tex]\frac{dx}{dt} = 1 - t^2 \\ \frac{dy}{dt} = - 2t[/tex]

setter inn i formelen for L, løser ut paranteser og får

[tex]L = \int_{0}^{3}{sqrt{t^4 + 2t^2 + 1}} dt[/tex]

herfra blir det bare rot og jeg er ganske langt unna fasitsvaret, så...

- er jeg på rett vei?
- hvis ja, hva gjør jeg videre? Substitusjon? Fullføre kvadrat? faktorisere? Har det noen hensikt å bytte ut rottegnet med å opphøye uttrykket i 0.5? Hint, føringer, løsninger søkes...

Videre skal jeg finne koordinatene til det punktet på kurven som er nærmest origo. Er rimelig på bærtur her, men har to forslag:

- finne en vektor som står vinkelrett på kurven og går gjennom origo - i så fall, hvordan?
- avstand fra origo til ett fritt valgt punkt (på linjen, eller ellers i planet) er [tex]sqrt{x^2 + y^2}[/tex]. Skal jeg bruke dette, sette inn formler for x og y av t, og så begynne å derivere og finne ut når den deriverte er lik 0 (minimumsverdi)?

ps! Samme oppgave er tatt opp i en eldre tråd, men der kom det ikke noe svar som hjelper i mitt tilfelle...

[orjan_s]

[tex]x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2[/tex]

[ventle]

Oisann, takker! Nesten flaut at jeg ikke så det selv... men da er buelengden under kontroll!

Da gjenstår bare å finne punktet på kurven som ligger nærmest origo. Jeg prøver meg på å bruke pytagoras for å finne avstanden mellom ett fritt valgt punkt på kurven og origo:

[tex]sqrt{(x(t))^2+(y(t)^2)} \\ = sqrt{(t - \frac{1}{3}t^3)^2 + (4.5-t^2)^2} \\ = sqrt{t^2 - \frac{2}{3}t^4 + \frac{1}{9}t^6 + 21.25 - 9t^2 + t^4} \\ = sqrt{\frac{1}{9}t^6 + \frac{1}{3}t^4 - 8t^2 + 21.25}[/tex]

Hvis dette er rett vei å gå, ser jeg for meg videre å fjerne rottegnet, derivere og finne nullpunktet til den deriverte for å finne t-verdien som gir minste avstand til origo. Jeg ser for meg at kvadratroten av uttrykket må ha tre ledd, ett tredjegradsledd, ett førstegradsledd og ett konstant ledd, på følgende form:

[tex]sqrt{(\frac{1}{3}t^3-Nt+4.5)^2}[/tex]

det eneste problemet som gjenstår er da en smart måte å finne N på...

edit - det forrige kan ikke stemme da det resulterer i ett tredjegradsledd, som ikke finnes i det opprinnelige uttrykket. Stemmer denne formen bedre?:

[tex]sqrt{(Nt^2-a)^3}[/tex]

edit 2 - dette stemmer selvfølgelig heller ikke da jeg får ett åttendegradsledd. Hjelp...

[ventle]

Okei, da tror jeg jeg har løsningen.

- jeg driter i rottegnet. Stryker det uten dårlig samvittighet, fordi det bare er når minimumsverdien inntreffer, og ikke den eksakte minimumsverdien jeg er ute etter - og minimumsverdien opptrer for samme verdi av t for både funksjonen f(t) og (f(t))^2.
- jeg deriverer uttrykket jeg til nå har satt under rottegnet:

[tex](\frac{1}{9}t^6 + \frac{1}{3}t^4 - 8t^2 + 21.25) \\ = \frac{2}{3}t^5 + \frac{4}{3}t^3 - 16t \\ = t^4 + 4t^2 - 24[/tex]

For å finne når minimumsverdien inntreffer (for hvilken verdi av t) setter jeg dette derivatet lik 0, og bruker roots i Matlab. Matlab gir fire løsninger, men bare en av disse er innenfor det intervallet av kurven vi undersøker, nemlig t = 2. Setter inn i formlene for x og y, og får:

[tex]x = t - \frac{1}{3}t^3 \\ x = 2 - \frac{1}{3}(2)^3 \\ x = -\frac{2}{3}[/tex]

[tex]y = 4.5 - t^2 \\ y = 4.5 - (2)^2 \\ y = 0.5[/tex]

Disse verdiene samsvarer med fasiten.

- har jeg gjort det riktig?
- kan denne metoden gi feil svar i noen tilfeller?
- finnes det bedre måter?